算法设计--在数组中找求和最大的连续子串

问题：输入具有n个整数的向量arr，输出向量的任意连续子向量和的最大值

特殊情况（1、当向量都为正数时，为整个向量

　　　　　2、当向量都为负数时，为0，即空子串

　　　　）

1、O（n2）的算法 （循环对所有情况进行遍历）

 1 #include <stdio.h>
 2 #define max(a,b) ((a>b)?a:b)
 3 #define max3(a,b,c) ((a>b)?((a>c)?a:c):((b>c)?b:c))
 4 
 5 int find1(int arr[], int n){
 6     int i,j,sum,maxsofar;
 7     maxsofar = 0;
 8 
 9     for(i=0; i<n; i++){
10         sum = 0;
11         for(j=i; j<n; j++){
12             sum += arr[j];
13             maxsofar = max(sum, maxsofar);   
14         }
15     }
16     return maxsofar;
17 }

其中有个小细节就是 注意sum(i, j-1) 和 sum(i, j）的关系，不要每次在求和的时候从头（i的位置）开始，那样会使复杂度变为O(n3)

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2、O(nlogn)算法

基于分治原理的算法：首先将n的原问题划分为大小基本相等的两个子问题，我们分别称为a和b子问题，可以递归找出a和b问题的最大子向量，称为maxa 和 maxb。

但他们两个之间的最大值不一定使我们求得n问题的最优解，还有一种可能是跨越a和b的边界，我们称之为c，c情况的最优解为maxc。

那么问题变成了如何求解maxc？

我们可以发现，maxc中在a的部分为a中包括a的右边界的最大值，maxc中在b的部分为b中包括b的左边界的最大值，因此可以在O(N)的时间内算出maxc

因此得到T(N) = 2T(N/2) + O(N)

推导得到T(N) = O(nlogn)

 1 int find2(int arr[], int s_p, int e_p){
 2     int m, sum, i, maxsofar, lmaxsofar, rmaxsofar;
 3     maxsofar = 0;
 4 
 5     if(s_p == e_p){
 6         return maxsofar;
 7     }
 8     else if(s_p == e_p){
 9         return max(arr[s_p],0);
10     }
11     else{
12         m = (s_p + e_p) / 2;
13 
14         lmaxsofar = 0;
15         sum = 0;
16         for(i=m; i>=s_p; i--){
17             sum += arr[i];
18             lmaxsofar = max(sum, lmaxsofar);
19         }
20 
21         rmaxsofar = 0;
22         sum = 0;
23         for(i=m+1; i<=e_p; i++){
24             sum += arr[i];
25             rmaxsofar = max(sum, rmaxsofar);
26         }
27 
28         return max3(lmaxsofar+rmaxsofar,find2(arr, s_p, m), find2(arr, m+1, e_p));
29     }
30 }

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3、O(n)算法

先上代码，代码非常简短，理解起来比较困难，但是执行效率非常高

int find3(int arr[], int n){
    int i,maxsofar,maxendinghere;
    maxsofar = 0;
    maxendinghere = 0;
    
    for(i=0; i<n; i++){
        maxendinghere = max(maxendinghere + arr[i], 0);
        maxsofar = max(maxsofar, maxendinghere);
    }

    return maxsofar;
}

假设我们已经解决了x[0,n-1]的问题，利用分治算法的原理：前i个元素中，最大总和子数组要么在前i-1个元素中，要么其结束位置在i处。

分析其结束为止在i处的情况，那么子向量中除去i处的元素组成的子向量一定是x[0,i-1]中结束位置为i-1的最大子向量。

看代码中的关键变量为maxendinghere：在循环语句的第一个赋值语句之前，maxendinghere是结束位置为i-1的最大子向量的和；赋值语句将其修改为结束位置为i的最大子向量的和。若加上x[i]后结果依然为正值，则结束位置在i的最大子向量值就为maxendinghere+x[i],如果为负值，则重置为0。