【算法题】动态规划

动态规划一般分为三类问题：

1. 计数
   -有多少种方式走到右下角
   -有多少种方法选出k个数使得和是Sum
2. 最大最小值
   -从左上角走到右下角路径的最大数字和
   -最长上升子序列长度
3. 存在性
   -取石子游戏，先手是否必胜
   -能不能选出k个数使得和是Sum

解题思路一般需要首先bottom-up然后top-down去设计。

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例题：
给出不同面额的硬币以及一个总金额. 写一个方法来计算给出的总金额可以换取的最少的硬币数量. 如果已有硬币的任意组合均无法与总金额面额相等, 那么返回 -1.

样例

样例1

输入：
[1, 2, 5]
11
输出： 3
解释： 11 = 5 + 5 + 1

样例2

输入： 
[2]
3
输出： -1

解题步骤如下（以样例1为例）：

1. 确定状态。
   研究最优策略的最后一步（最优策略中使用的最后一枚硬币(a_k)）、化成子问题（最少的硬币拼出更小的面值(11-a_k)）。
2. 转移方程。

[dp[X]=min{ dp[X-1]+1,dp[X-2]+1,dp[X-5]+1 } ]

3. 初始条件和边界条件。
   $ dp[0] = 0 (，如果不能拼出Y， ) dp[Y] = INTMAX $
4. 计算顺序。 利用好之前的计算结果。
   $ dp[0], dp[1], dp[2]… $

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动态规划经典题型

1. 序列型。LintCode 515. https://www.lintcode.com/problem/paint-house/description
2. 划分型。LintCode 512. https://www.lintcode.com/problem/decode-ways/description
3. 坐标型。LintCode 76. https://www.lintcode.com/problem/longest-increasing-subsequence/description

序列型动态规划

以LintCode 515. Paint House举例，

这里有n个房子在一列直线上，现在我们需要给房屋染色，分别有红色蓝色和绿色。每个房屋染不同的颜色费用也不同，你需要设计一种染色方案使得相邻的房屋颜色不同，并且费用最小，返回最小的费用。

费用通过一个nx3 的矩阵给出，比如cost[0][0]表示房屋0染红色的费用，cost[1][2]表示房屋1染绿色的费用。

样例
样例 1:

输入: [[14,2,11],[11,14,5],[14,3,10]]
输出: 10
解释: 蓝 绿 蓝, 2 + 5 + 3 = 10
样例 2:

输入: [[1,2,3],[1,4,6]]
输出: 3

序列型动态规划的特点，是需要使用(dp[i])来表示前i个项目的最小数/方式数/可行性。
此题中，在设计动态规划的过程中，发现涂前N-1栋房子的最优策略中，需要知道房子N-2的颜色。如果只用(dp[N-1])，将无法区分。
解决方法：记录下房子N-2的颜色*在房子N-2是红/蓝/绿色的情况下，油漆前N-1栋房子的最小花费。
关键词为：序列+状态

划分型动态规划

以LintCode 512. Decode Ways为例，

有一个消息包含A-Z通过以下规则编码

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26
现在给你一个加密过后的消息，问有几种解码的方式

样例
样例 1:

输入: "12"
输出: 2
解释: 它可以被解码为 AB (1 2) 或 L (12).
样例 2:

输入: "10"
输出: 1

划分型动态规划的特点，是需要划分不同的条件来计算(dp[i])。

[dp[i] = dp[i-1] | S[i-1]可以对应一个字母 + dp[i-2] | S[i-2] S[i-1]可以对应一个字母 ]

坐标型动态规划

以LintCode 76. Longest Increasing Subsequence为例，

给定一个整数序列，找到最长上升子序列（LIS），返回LIS的长度。

样例
样例 1:
	输入:  [5,4,1,2,3]
	输出:  3
	
	解释:
	LIS 是 [1,2,3]


样例 2:
	输入: [4,2,4,5,3,7]
	输出:  4
	
	解释: 
	LIS 是 [2,4,5,7]
挑战
要求时间复杂度为O(n^2) 或者 O(nlogn)