2. 01背包问题

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8


第一种动态规划二维版本：
思路:
闫式DP分析法:
划分为两部分:
第一部分:状态表示 f[i][j]：
(又分为两步--->)
(1)集合:所有的选法和选取条件---->本题只从i个物品中选取，和物品总体积小于等于j
(2)属性分为--->最大值，最小值(这个二维有时候需要考虑边界问题，初始化个正无穷就好)，数量
第二部分是状态计算------>集合的划分:

本题难点

分不含i和含i----->不含i用f[i - 1][j]，含i用f[i - 1,(j - v[i]) + w[i]]表示

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    //物品的数量和背包体积
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j <= m;j++)
        {
            //不含第i个物品,和含有第i个物品，不含第i个物品一定存在,但是含有第i个物品不一定存在
            //因为我们加上第i个物品的体积可能会大于我们的背包体积(j < vi),所以右边可能会是空集
            //第i-1个个物品一定存在，先存到i里边
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            //在原有i-1这个物品的数量体积上，在进行判断是否能在装有第i-1物品的体积基础上用我们的第i个物品的体积进行替换
            //使我们背包的利用率达到最大，也就是进行判断在数量为i的物品背包容量不超过j的情况下，能装的物品的最大价值
            //是多少
            //背包体积不超过j的情况下，用上一个价值去和当前价值进行比较
            //f[i][j] 表示的就是我们背包当前的状态表示
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[n][m];
    
    
}

 接下来是很秀的转化为一维的操作:

由转状态转移方程----->

不含i用f[i - 1][j]，含i用f[i - 1,(j - v[i]) + w[i]]
第一个优化:
我们的f[i]只用到了f[i - 1]这一层，f[i-2],f[i-3]....等层数都没有被用到，所以可以用滚动数组来做。
第二个优化:
不管我们用到的哪个j都是<=j的,没有在j的两侧，所以就可以改为一维数组来算

具体改法:

//转化
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    //物品的数量和背包体积
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = m;j >= v[i];j--)
        {
            //对代码做等价变形去掉f[i][j] = f[i-1][j]
            //j从0 ~ v[i-1]没有意义，所以说j从v[i]开始就可以了
            //由于j >= j - v[i]  又因为j 是从小到大枚举
            //所以说f[j - v[i]]在第i层被计算过了(也就是说原来的i-1就是现在的i,因为从小到大所以小的就已经被算过了)
            //所以说f[j - v[i]]其实是第二层的j - v[i],也就是等价于原先二维的
            //max(f[i][j],f[i][j - v[i]]);这样就和原来的f[i - 1][j - v[i]]不一样了
            
            //解决问题的方案:只需要把j的循环变成从大到小就可以了
            //这样的话我们去算f[j]的时候,由于j - v[i] <= j，又因为我们从大到小枚举所有的体积
            //所以我们在算f[j]的时候，f[j - v[i]]还没有被更新过，那么他存地就是第i - 1层的v[i]
            //那么就等价于f[i - 1][j - v[i]],,,,这样就对了
            f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[m];
}