BZOJ1013：[JSOI2008]球形空间产生器——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

高斯消元裸题。

我们根据公式设球心为(x1,x2,x3……xn)得到：

(a1-x1)^2 + (a2-x2)^2 + … + (an-xn)^2=(b1-x1)^2 + (b2-x2)^2 + … + (bn-xn)^2

化简得到：

2(a1-b1)x1+2(a2-b2)x2+...+2(an-bn)xn=(a1^2+a2^2+...+an^2-b1^2-b2^2-...-b3^2)

可以得到n个式子，高斯消元即可。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef double dl;
const int N=13;
int n,m;
dl c[N][N],f[N][N],ans[N];
inline void Gauss(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
    int l=i;
    for(int j=l+1;j<=n;j++)
        if(fabs(f[l][i])<fabs(f[j][i]))l=j;
    if(l!=i)
        for(int j=i;j<=m;j++)
        swap(f[l][j],f[i][j]);
    for(int j=i+1;j<=n;j++){
        dl temp=f[j][i]/f[i][i];
        for(int k=i;k<=m;k++)
        f[j][k]=f[j][k]-f[i][k]*temp;
    }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
    dl t=f[i][m];
    for(int j=n;j>i;j--)
        t-=ans[j]*f[i][j];
    ans[i]=t/f[i][i];
    }
    return ;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);m=n+1;
    for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        scanf("%lf",&c[i][j]);
    }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    int j=i-1;dl d=0;
    for(int k=1;k<=n;k++){
        f[i][k]=(c[i][k]-c[j][k])*2;
        d+=c[i][k]*c[i][k]-c[j][k]*c[j][k];
    }
    f[i][m]=d;
    }
    Gauss();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    if(i<n)printf("%.3lf ",ans[i]);
    else printf("%.3lf
",ans[i]);
    }
    return 0;
}