Lanczos sum rule

假设跃迁算符是 \(\hat{O}\)，如果是 E2，\(\hat{O}\) 的第三分量可以是 \(-2,-1,0,1,2\)。
现在对于给定的初态 \(|i\rangle\)，想要求它的某种 sum rule：

\[I = \int^\infty_0 d \omega S(\omega) g(\omega). \]

第一步先设置 Lanczos 的 pivot，把它设为 \(\hat{O}\) 作用在 \(|i\rangle\) 上得到的结果（如果第三分量有多种，就分别做，最后再求和）：
\begin{equation}
| \varphi_0 \rangle = \hat{O} | i \rangle / \sqrt{\langle i | \hat{O}^\dagger \hat{O} | i \rangle }.
\end{equation}
然后，按照 Lanczos 的思路，构造 Krylov 子空间：

\[\left\{ \varphi_0, \hat{H}\varphi_0, \cdots, \hat{H}^k \varphi_0, \cdots \right\}, \]

再拿着这些基矢进行正交化，按照 Lanczos 的处方，正交化以后第一个基仍然是 \(\varphi_0\)，所以不妨把正交化的基矢记作：

\[\left\{ \varphi_0, \varphi_1, \varphi_2, \cdots \right\}. \]

在这个正交归一基下，做哈密顿量的近似对角化，得到近似本征波函数

\[| \nu \rangle = \sum^{N-1}_{j=0} Q_{j\nu} | \varphi_j \rangle, \]

那么，在这个 Krylov 子空间下，求一个近似的 sum rule，就是

\[I_N \equiv \sum^{N-1}_{\nu=0} | \langle \nu | \hat{O} | i \rangle |^2 g(E_\nu). \]

把 \(|\nu\rangle\) 按 \(\varphi\) 展开的式子代进去，得到

\[I_N = \sum^{N-1}_{\nu=0} | \sum^{N-1}_{j=0} Q^\dagger_{j\nu} \langle \varphi_j | \hat{O} | i \rangle |^2 g(E_\nu). \]

到这里有个 trick，根据前面的定义，$|\varphi_0\rangle $ 正比于 \(\hat{O} |i\rangle\)，另外 \(\left\{\varphi_0, \varphi_1, \cdots \right\}\)两两正交，所以 \(\langle \varphi_j | \hat{O} | i \rangle = \delta_{j0}\)，因此

\[I_N = \langle i | \hat{O}^\dagger \hat{O} | i \rangle \sum^{N-1}_{\nu=0} | Q_{0 \nu} |^2 g(E_\nu). \]

根据 PRC89, 064317(2014)，\(I_N\) 会很快收敛到 \(I\)。
所以，在壳模型中，对于给定初态 \(|i\rangle\)，可以想办法算 \(\hat{O} |i\rangle\) 的 norm，然后用 \(\hat{O}|i\rangle\) 做 pivot，进行若干步 Lanczos，得到 \(Q_{0\nu}\)，再用上面的公式计算 sum rule。