群论基础(5)：李群

这个更粗糙，先放在这里，有空了再更。

5.1 张量

共变（协变）、逆变矢量

共变（协变）、逆变张量

度规张量

度规空间 收缩

例：二维直角坐标 -> 极坐标

5.2 李群的定义和例子

元素可以用 r 个有限个连续变化的实参数确定，r 称为李群的阶。
\begin{equation}
R(a) = R(a^1, \cdots, a^r),
\end{equation}

1）存在幺元素 R(0)

2. 存在逆元，对任意 \(a\), 给定的参数空间中存在 \(\bar{a}\)，使得
   \begin{equation}
   R( \bar{a} ) R(a) = R(a) R(\bar{a}) = R(0).
   \end{equation}

3. 封闭性：任意 \(a,b\)，存在 \(c\)，使得
   \begin{equation}
   R(c) = R(b) R(a),
   \end{equation}
   \(c\) 为 \(a,b\) 的函数
   \begin{equation}
   c = \varphi(a,b).
   \end{equation}

4. 乘法满足结合律

5. 3)中的\(c = \varphi(a,b)\) 为 \(a,b\) 的解析函数，2)中的 \(\bar{a}\) 为 \(a\) 的解析函数。这里的解析函数是可导的意思。

例：

GL(2,R): 2维空间线性变换群——2x2非奇异矩阵群，四个自由参数

GL(2,C)：2维空间复线性变换群——2x2非奇异复数矩阵，8个自由参数

SU2：2维空间特殊幺模复线性变换群——2x2特殊幺模复数矩阵，3个自由参数

SO2：2维转动群，1个自由参数

强制幺正变换 -> 实变换，酉群退化为正交群

R3：3维转动群

\begin{equation}
\mathcal D(\alpha, \beta, \gamma) = R_z (\alpha) R_y( \beta) R_z(\gamma),
\end{equation}
其中，\(\alpha, \beta, \gamma\) 为欧拉角，\(R_z(\gamma)\) 表示绕 \(z\) 轴旋转 \(\gamma\) 角。

5.3 李代数

紧致李群：李群参数有界。

苏菲斯·李证明了，研究李群单位元邻域性质就足够。

\begin{equation}
R(a) = R(0) + a^\rho X_\rho + \cdots
\end{equation}
\(X_\rho = \{ \frac{\partial R(a) }{ \partial a^\rho } \}_{a=0}\)称为无穷小生成元。

无穷小元素 \(R(a) = 1 + \epsilon X_\rho, R(b) = 1 + \epsilon X_\sigma\)，则有

\[[R(a), R(b) ] = \epsilon^2 [ X_\rho, X_\sigma ] = \epsilon^2 C^\tau_{\rho \sigma} X_\tau, \]

第二个等号使用了李群的定义，即 \(R(a)R(b)=R(c)\)也是无穷小元素，设为\(R(a)R(b)=1+C^\tau X_\tau\)，类似地，\(R(b)R(a)=1+C'^\tau X_\tau\)，定义

\[C^\tau_{\rho \sigma} = (C^\tau - C'^\tau)/\epsilon^2. \]

所以得到
\begin{equation}
[ X_\rho, X_\sigma ] = C^\tau_{\rho \sigma} X_\tau.
\end{equation}
如果确定了 \(C^\tau_{\rho \sigma}\)，就确定了无穷小生成元的线性空间内对易式的规则。

\(C^\tau_{\rho \sigma}\)称为李群的结构系数，有两个重要性质：

\[ C^\tau_{\rho \sigma} = - C^\tau_{\sigma \rho}, \\ C^\mu_{\rho \sigma} C^\nu_{\mu \tau} + C^\mu_{\sigma \tau } C^\nu_{\mu \rho} + C^\mu_{\tau \rho} C^\nu_{\mu \sigma} = 0. \]

上面的第二个式子可由 Jacobi 等式（很容易证明）得到：
\begin{equation}
[[A,B],C] + [[B,C],A] + [[C,A],B] = 0.
\end{equation}

\(\{ X_\rho \}\)的线性空间与对易子运算，构成一个代数，称作李代数。
找到这些无穷小生成元的表示，就找到了相应李群的表示。

例： GL(2,R), SO2, SO3 的无穷小生成元矩阵表示。

5.4 有限变换

以转动群为例，无穷小元素
\begin{equation}
R( \delta \varphi ) = 1 + \delta \varphi X_\varphi,
\end{equation}
而一个有限大的转动可以拆分为无数个无穷小转动（这一点很重要），
\begin{equation}
R( \varphi ) = R( \varphi/N )^N = e^{ \varphi X_\varphi }.
\end{equation}
定义 \(X_1 = -iJ_x, X_2 = -i J_y, X_3 = -i J_z\)，则有
\begin{eqnarray}
R_z( \varphi) = e^{-i\varphi J_z}
\end{eqnarray}
绕空间轴 \(\vec{n}(\theta' \phi)\) 旋转 \(\varphi\) 角(unchecked)：
\begin{equation}
R_{\vec{n}} (\varphi) = e^{-i \varphi \vec{n} \cdot \vec{J} }.
\end{equation}
选欧拉角为 SO3 的参数，则任意转动元素为
\begin{equation}
R(\alpha, \beta, \gamma) = e^{ -i \alpha J_z } e^{ -i \beta J_y } e^{ -i \gamma J_z }.
\end{equation}
因为\(J_x, J_y, J_z\)不对易，所以指数不能随便合并。