算法训练 猴子吃包子-构造

问题描述
　　集合M至少有两个元素（实数），且M中任意两个元素差的绝对值都大于2，则称M为“翔集合”，已知集合S={1,2…,n},请求出n的子集中共有多少个翔集合。
输入格式
　　输入共一行，一个整数n.(n>=2)
输出格式
　　输出共一行，一个整数表示S的子集中共有多少个翔集合，由于个数可能过大，请输出这个值除以1000007的余数。
样例输入
4
样例输出
1
数据规模和约定
　　对于20%的数据，2<=n<=1000000
　　对于100%的数据，2<=n<=10^15

本题需要矩阵乘法求解。我们假设an为最大数为n时包含所有翔集合的总数，分析他的组成，可以由含有n和不含有n的翔集合相加。
1，不含有n的翔集合总数显然为an-1。
2，而含有n的如何分析呢，我们可以这样想，因为翔集合每个元素之间的差的绝对值大于2，所以我们可以在最大数为n-3时构成的每一个翔集合中后面都加一个n，但是由于翔集合中元素数量最少为2，这样构成后，显然只包含了3个及以上的含n的翔集合an-3。
3，单独分析含n的二元翔集合，很简单为n-3个，即n与不大于n-3的数构成的二元集，
综上得出通项：an = an-1+an-3+(n-3)
滚动数组或矩阵乘法求出即可。

得出通项后可构造矩阵

 代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e6+7;
struct node{
    ll A[5][5];
    node(){
        for(int i=0;i<5;i++){
            for(int j=0;j<5;j++){
                A[i][j] = 0;
            }
        }
    }
}x,y;
ll n;
void set(){
    x.A[0][0]=x.A[0][2]=x.A[0][3]=1;
    x.A[1][0]=1;
    x.A[2][1]=1;
    x.A[3][3]=x.A[3][4]=1;
    x.A[4][4]=1; 
    
    y.A[3][0]=1;
    y.A[4][0]=1;
} 
struct node Mul(node tmp1,node tmp2){
    node tmp3;
    for(int i=0;i<5;i++){
        for(int j=0;j<5;j++){
            for(int k=0;k<5;k++){
                tmp3.A[i][j]=(tmp3.A[i][j]+tmp1.A[i][k]*tmp2.A[k][j])%mod; 
            }
        }
    }
    return tmp3;
}

struct node quick2_pow(ll k){
    node ans = x;
    while(k){
        if(k&1) ans = Mul(ans,x);
        x = Mul(x,x);
        k>>=1;    
    }
    return ans;
} 

int main(){
    set();
    cin>>n;
    if(n<4){
        cout<<"0"<<endl;
        return 0;
    }
    node s;
    s = Mul(quick2_pow(n-4),y);
    cout<<s.A[0][0]%mod<<endl; 
    return 0; 
}