2021牛客寒假算法基础集训营1

A 串

题意

链接

长度不超过nn，且包含子序列“us”的、只由小写字母构成的字符串有多少个？ 答案对10^9+7取模。

所谓子序列，指一个字符串删除部分字符（也可以不删）得到的字符串。

例如，"unoacscc"包含子序列"us"，但"scscucu"则不包含子序列"us"

样例 3 77

思路

比赛想排列组合没有想好，直接写挂了

看题解的方法，突然豁然开朗

分三种状态 ： 没有u，有u后面没s，有us（f[i][0],f[i][1],f[i][2]）

每一个i的状态转移（当前这个字符串往后加字符）

f[i][0]=f[i-1][0] * 25 (加一个除u的字符)

f[i][1]=f[i-1][1] * 25（加一个除s的字符）+ f[i-1][0]（加u字符）

f[i][2]=f[i-1][2] * 26（随便加）+ f[i][i-1]（加s字符）

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int N=1e6+10;
ll f[N][3];
int main(){
    f[2][0]=25*25;f[2][1]=50;f[2][2]=1;
    int n;scanf("%d",&n);
    ll sum=1;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        f[i][0]=f[i-1][0]*25%mod;
        f[i][1]=(f[i-1][1]*25+f[i-1][0])%mod;
        f[i][2]=(f[i-1][2]*26+f[i-1][1])%mod;
        sum+=f[i][2];sum%=mod;
    }
    printf("%lld
",sum);
    return 0;
}

B 括号

题意

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请你构造一个非空的括号字符串，包含正好 k 个不同合法括号对。

所谓括号字符串，是指由'('和')'这两种字符构成的字符串。

要求构造的字符串长度不超过100000。

思路

枚举一个例子 5 （））））） 7 （）））（））

所以只要计算一下输入1e9字符串长度 我选了50000

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int a[N];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<50000){
        printf("(");
        for(int i=0;i<n;i++){
            printf(")");
        }
        printf("
");
    }
    else{
        int zhi=n/50000;int yu=50000-n%50000;
        for(int i=0;i<zhi;i++){
            printf("(");
        }
        for(int i=0;i<yu;i++){
            printf(")");
        }
        if(yu!=50000){
            printf("(");
        }
        for(int i=0;i<50000-yu;i++){
            printf(")");
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

C 红和蓝

题意

链接

你拿到了一棵树，请你给每个顶点染成红色或蓝色。

要求：每个红点周围有且仅有一个红点，每个蓝点周围有且仅有一个蓝点。

“周围”的定义：某点周围的点指通过邻边直接连接的点。

所谓树，即没有自环、重边和回路的无向连通图。

思路

构造树题目，首先能想到奇数个肯定是-1，那么偶数个的话基本是两两对应，那么直接从最底层，爸爸和儿子相对应，如果有重复则说明不行，然后在进行染色，第一个dfs两两分配（顺便找是否有矛盾的），第二个dfs染色即可

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '
'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define mod 1000000007
const double pi = acos(-1);
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int head[N],ne[N<<1],to[N<<1];
int n,q,tot=0,flag=0,cnt=0;
int color[N],vis[N];
void add(int u,int v){
    to[tot]=v;
    ne[tot]=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void dfs(int fa,int u){
    int ge=0;//cout<<fa<<u<<endl;
    for(int i=head[u];~i;i=ne[i]){
        if(to[i]==fa)continue;
        ge++;
        dfs(u,to[i]);
    }
    if(!ge || !vis[u]){
        if(vis[fa]){
            flag=1;return;
        }
        vis[u]=vis[fa]=++cnt;
    }
}
void dfs2(int fa,int u){
     //cout<<fa<<u<<endl;
     for(int i=head[u];~i;i=ne[i]){
        if(to[i]==fa)continue;
        if (vis[to[i]]==vis[u]) color[to[i]]=color[u];
        else color[to[i]]=color[u]^1;
        dfs2(u,to[i]);
    }
}
int main(){

    mem(head,-1);
    IOS;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int u,v;cin>>u>>v;
        add(u,v);add(v,u);
    }
    if(n&1){cout<<"-1";return 0;}
    dfs(0,1);
    if(flag){cout<<"-1";return 0;}
    color[1]=1; dfs2(0,1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(color[i])cout<<"R";
        else cout<<"B";
    }
    return 0;
}
/*
4
1 2
1 3
3 4
*/

E 三棱锥之刻

题意

链接

牛牛站在一个棱长为的正三棱锥内部的中心。（牛牛是不可移动的）（所谓正三棱锥，指六条棱都相等的三棱锥。正三棱锥的中心指到 4 个顶点距离都相等的那个点） • 如上图，牛牛站在P点，他拿着一个染色喷雾，可以用来给正三棱锥的内表面染色。已知喷雾能喷洒的距离为。也就是说，三棱锥内表面距离牛牛不超过的点才有可能被染色。牛牛想知道，正三棱锥内表面能被他染色的最大面积是多少？

ps：牛牛可看成一个无大小的点。重力对于喷雾的影响忽略不计。 1≤a,r≤1000

思路

一共四种情况 一种没碰到，一种全覆盖，一种覆盖成4个圆形，一种覆盖成4个（三个扇形面积加上三个三角形面积）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const double pi = acos(-1.0);
using namespace std;
int main(){
    double a,r,ans=0;
    scanf("%lf%lf",&a,&r);
    double mi = sqrt(6)*a/12;//内切球半径
    double ma = sqrt(6)*a/4;//外接圆半径
    double dd = sqrt(2)*a/4;
    double d = sqrt(3)*a/6; //三角形内切圆半径
    double r1 = sqrt(r*r-mi*mi);
    if(r<mi)  printf("0
");//没覆盖
    else if(r<=dd){//四个圆形
        ans= pi*r1*r1*4;
        printf("%.5f
",ans);
    }
    else if(r<ma){//三个扇形面积加上三个三角形面积
        double st1 = acos(d/r1)*2;// 三角形顶角角度
        double st2 = (2*pi-st1*3)/3;//三个扇形的圆心角
        double x = sqrt(r1*r1-d*d)*2; //三角形的底边
        ans = (st2*r1*r1/2*3 + x/2*d*3)*4;
        printf("%.5f
",ans);

    }
    else{//全覆盖
        printf("%.5f
",sqrt(3)*a*a);
    }
    return 0;
 }

I 限制不互素对的排列

题意

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就是构造一个1~n数字里面有 k 个相邻gcd！=1的数组，k<=n/2

思路

n>=6之后 k==n/2 变成 3 6开头 ，其他用2的倍数即可，

n<6 可以枚举，其中有-1的情况

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int main(){
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    if(k==0){
        for(int i=1;i<=n;i++)printf(i==n?"%d ":"%d
",i);
    }
    else if(n>=6){
        if(k==n/2){
            printf("3 6");
            for(int i=2;i<=n;i+=2){
                if(i==6){continue;}
                printf(" %d",i);
            }
            for(int i=1;i<=n;i+=2){
                if(i==3){continue;}
                printf(" %d",i);
            }
            printf("
");
        }
        else{
            int zhi=2*(k+1);
            for(int i=2;i<=zhi;i+=2){
                printf(i==2?"%d":" %d",i);
            }
            for(int i=1;i<=zhi;i+=2){
                printf(" %d",i);
            }
            for(int i=zhi+1;i<=n;i++){
                printf(" %d",i);
            }
            printf("
");
        }
    }
    else{
        if(k==n/2){printf("-1
");}
        else{
            printf("2 4");
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(i==2){continue;}
                if(i==4){continue;}
                printf(" %d",i);
            }
            printf("
");
        }
    }
    return 0;
}

J 一群小青蛙呱蹦呱蹦呱

题意

链接

有n个格子，每个格子里有一个数，1,2,3,4...n牛牛放出无穷只青蛙。

第一只青蛙的路线是：1->2->4->8->16->....

第二只青蛙的路线是：1->3->9->27->81->....

第三只青蛙的路线是：1->5->25->125....

第四只青蛙的路线是：1->7->49........

用数学语言描述，第i只青蛙的路线是首项为1，公比为p(i)的等比数列，其中p(i)代表第个素数。

当青蛙跳到一个格子上，如果这个格子上面有一个数，青蛙就会把这个数吃掉。牛牛想知道，

所有没有被吃掉的数的lcm（最小公倍数 ，Least common multiple）是多少？由于这个lcm可能非常大，请输出它对10^9+7取模的值。N<=1.6 * 10^8

思路

因为2 去掉2 4 8 16 ……（2^k），那么3去掉3 9 27 ……（3^k）

lcm的话因子有两个及以上的因子的最高幂，那么除了2的另一个因子是3以外，其他都是2因子

p1^k1 * p2^k2 和 p1^k3 * p2^k4 的lcm==p1^max(k1,k3) * p2^max(k2,k4)

所以只要找出1.6 * 10^8里面的素数，这里用了 位图欧拉筛优化 （其实这里因为要找两个因子及以上的数字所以可以优化找0.8 * 10^8里面的素数）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =160000007;
int vis[N/32+50];
typedef long long ll ;
ll mod=1000000007;
ll pri[9000000],len=0;
ll sum[9000000];
bool Get(int i){
    int x=i/32,y=i%32;
    return 1<<y & vis[x];

}
void Set(int i){
    int x=i/32,y=i%32;
    vis[x]|=1<<y;

}
void init(){
    len=0;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!Get(i))
            pri[len++]=i;
        for(int j=0;j<len&&i*pri[j]<=N;j++){
            Set(i*pri[j]);
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    sum[0]=pri[0];
    for(int i = 1;i < len; i++)  sum[i] = (ll)sum[i-1]*pri[i]%mod;
}
ll ksm(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans*=a;ans%=mod;
        }
        a*=a;a%=mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll solve(ll n)
{
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<len;i++){
        ll zhi=(i==0?3:2);
        if(zhi*pri[i]>n) break;
        ll t=1;
        while(zhi*t*pri[i]<=n) t*=pri[i];
        ans=ans*t%mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    init();
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n)){
        ll zhi=solve(n);
        if(zhi==1){
            printf("empty
");
        }
        else printf("%lld
",zhi);
    }
    return 0;
}