数学，就我所知，分为初等数学、高等数学。数学专业还会学习 数学分析、解析几何。更厉害的数学，还听说过 黎曼几何（Riemannian geometry）。
本文会整理各种数学的概念，以便自己及大众了解所有现有数学概念。
数学：一级学科
数学计算 和 CPU、GPU指令的关系如何？怎么转换的？编译器做转换？
~慢慢补全~
数
整数：正整数、0、负整数
有理数：有限、无限可循环
无理数：无限不循环
实数
虚数
复数
操作
加
减
乘
除
模运算
微积分：微分、积分、极限、求导、级数、常微分方程
代数：初等代数、高等代数（线性代数、多项式代数）域论
常见的代数结构类型：集合、向量、向量空间，群、环、域、模、线性空间等。
高等代数是大学数学专业开设的专业课，线性代数是大学中除了数学专业以外的理科、工科和部分医科专业开设的课程。
函数
集合与区间
初等函数
数列
函数的极限
无穷大、无穷小量
中值定理
不定积分、定积分
向量代数与空间解析几何
多元函数
重积分
曲线积分、曲面积分
级数
微分方程
场论
几何：平面、立体、非欧、罗氏、黎曼、解析、射影、仿射、代数、微分、计算几何、拓扑学
概率论与数理统计
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百度百科：数学
数理逻辑和数学基础
{
演绎逻辑学（也称符号逻辑学）
证明论（也称元数学）
递归论
模型论
公理集合论
数学基础
数理逻辑与数学基础其他学科
}
数论
{
初等数论
解析数论
代数数论
超越数论
丢番图逼近
数的几何
概率数论
计算数论
数论其他学科
}
代数学
{
线性代数
群论
域论
李群
李代数
Kac-Moody代数
环论
模论
格论
泛代数理论
范畴论
同调代数
代数K理论
微分代数
代数编码理论
代数学其他学科
}
代数几何学
几何学
{
几何学基础
欧氏几何学
非欧几何学（包括黎曼几何学等）
球面几何学
向量和张量分析
仿射几何学
射影几何学
微分几何学
分数维几何
计算几何学
几何学其他学科
}
拓扑学
{
点集拓扑学
代数拓扑学
同伦论
低维拓扑学
可调论
维数论
格上拓扑学
纤维丛论
几何拓扑学
奇点理论
微分拓扑学
拓扑学其他学科
}
数学分析
{
微分学
积分学
级数论
数学分析其他学科
}
非标准分析
函数论
{
实变函数论
单复变函数论
多复变函数论
函数逼近论
调和分析
复流形
特殊函数论
函数论其他学科
}
常微分方程
{
定性理论
稳定性理论
解析理论
常微分方程其他学科
}
偏微分方程
{
椭圆型偏微分方程
双曲型偏微分方程
抛物型偏微分方程
非线性偏微分方程
偏微分方程其他学科
}
动力系统
{
微分动力系统
拓扑动力系统
复动力系统
动力系统其他学科
}
积分方程
泛函分析
{
线性算子理论
变分法
拓扑线性空间
希尔伯特空间
函数空间
巴拿赫空间
算子代数
测度与积分
广义函数论
非线性泛函分析
泛函分析其他学科
}
计算数学
{
插值法与逼近论
常微分方程数值解
偏微分方程数值解
积分方程数值解
数值代数
连续问题离散化方法
随机数值实验
误差分析
计算数学其他学科
}
概率论
{
几何概率
概率分布
极限理论
随机过程（包括正态过程与平稳过程、点过程等）
马尔可夫过程
随机分析
鞅论
应用概率论（具体应用入有关学科）
}
数理统计学
{
抽样理论
假设检验
非参数统计
方差分析
相关回归分析
统计推断
贝叶斯统计（参数估计等）
试验设计
多元分析
统计判决理论
时间序列分析
数理统计学其他学科
}
应用统计数学
应用统计数学其他学科
运筹学
{
线性规划
非线性规划
动态规划
组合最优化
参数规划
整数规划
随机规划
排队论
对策论（博弈论）
库存论
决策论
搜索论
图论
统筹论
最优化
运筹学其他学科
}
组合数学（Combinatorial mathematics，又称为 离散数学）
总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。
微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。
1965年，美国控制论专家扎德Zadeh(Lotfi A．Zadeh)教授在Information and Control杂志上发表了题为Fuzzy Sets的论文，提出用“隶属函数”来描述现象差异的中间过渡，从而突破了经典集合论中属于或不属于的绝对关系。Zadeh教授这一开创性的工作，标志着数学的一个新分支——模糊数学的诞生。
{
模糊聚类分析
模糊模式识别
模糊综合评判
模糊决策与模糊预测
模糊控制
模糊信息处理
}
突变理论
突变论的诞生，以法国数学家勒内·托姆（René Thom，1923年9月2日－2002年10月25日）于1972年发表的《结构稳定性和形态发生学》一书的问世作为标志。托姆将系统内部状态的整体性“突跃”称为突变，其特点是过程连续而结果不连续。突变理论可以被用来认识和预测复杂的系统行为。
量子数学是指基于时间和空间的量子性而建立的数学，用于描述真实的物理世界。
应用数学
应用数学（Applied Mathematics）是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其它范畴（尤其是科学）的数学分枝，可以说是纯数学的相反。包括微分方程、向量分析、矩阵、傅里叶变换、复变分析、数值方法、概率论、数理统计、运筹学、控制理论、组合数学、信息论等许多数学分支，也包括从各种应用领域中提出的数学问题的研究。计算数学有时也可视为应用数学的一部分。
数学其他学科
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百度百科：现代数学
现代数学时期是指由20世纪40年代至今，这一时期数学主要研究的是【最一般的数量关系和空间形式】，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析 是 整个现代数学科学的主体部分。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
罗巴契夫斯基 和 里耶：先驱
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是【20世纪相对论】产生的前奏和准备。
1854年，黎曼 推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
在1843年，哈密顿 发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了 近代代数 的大门。
群论之后，多种代数系统（环、域、格、布尔代数、线性空间等）被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。
20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以【集合论】为基础来讲述。
20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。此外还出现了许多新的情况，促使数学发生急剧的变化。这些情况是：现代科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。
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