数学--数论-多重集排列组合与母函数

一、无重复元素的排列组合定义

排列，英文名为Permutation，是指从某元素集合中取出指定个数的元素进行排序
组合，英文名为Combination，是指从某元素集合中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序

从有n个不同元素的集合任取r个元素的排列方式有：
$P(n, r) = n*(n-1)*...*(n-r+1) = n! / (n-r)!,特别地 P(n,n) = n!$

从有n个不同元素的集合任取r个元素的组合方式有：
$C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / ( (n-r)! * r!)，特别地C(n,n) = 1$

二、多重集合（multiset）的排列组合

设多重集合 $S = { n1 * a1, n2 * a2, ..., nk * ak } n = n1 + n2 + ... + nk$

即集合 S 中含有n1个元素a1， n2个元素a2，…，nk个元素ak，ni被称为元素ai的重数，k成为多重集合的类别数

在 S 中任选 r 个元素的排列称为S的r排列，当r = n时，有公式
$P(n; n1*a1, n2*a2, ..., nk*ak) = n! / (n1! * n2! * ...* nk!)$

在 S 中任选 r 个元素的组合称为S的r组合，当r<=任意ni时，有公式
$C(n; n1*a1, n2*a2, ..., nk*ak) = C(k+r-1, r)$

由公式可以看出多重集合的组合只与类别数k 和选取的元素r 有关，与总数无关！

三、多重集合问题的转化例子

例1：线性方程 x1 + x2 + … + xk = r 一共有多少组非负整数解？

解答：上述不定方程的非负整数解对应于下述排列

1…101…1 01…1 0 … 01…1

x1 个 x2 个 x3 个 … xk 个

其中 k-1个 0 将 r 个 1 分成k段， 每段含1的个数分别为 x1, x2, …, xk,

很明显这个排列是多重集合 S = { r * 1， （k-1）* 0 }的全排列

即：P(r+k-1; r*1, (k-1)*0) = (r+k-1)! / ( r! * (k-1)! ) = C( r+k-1, r),即从k类元素中选r个的种类

例二：某车站有6个入口处，每个入口处每次只能进一个人， 一组9个人进站的方案有多少？

解答：进站方案可以表示为

1 011 011 01 011 01

g1 g2 g3 g4 g5 g6

其中 1 表示不同的人， 而 0 表示门框, 6-1= 5个门框将序列分为六段,

则任意进站方案可表示成上面 14 个元素 S = { 5 * 1, 1 * p1, 1 * p2, …, 1 * p9 }的一个排列

即：P(5+9;51, 1p1, 1p2, …, 1p9) = 14! / ( 5! * 1! * … 1! ) = 14! / 5!

例三、求从（0,0）点到（m,n）点的非降路径数

解答：无论哪条路径，必须在x方向上走m步，y方向上走n步，将非降路径数与多重集合 S = { m * x, n * y } 的排列建立一一对应关系，所以格路总数为 P(m+n; mx, ny) = (m+n)! / ( m! * n! ) = C(m+n, n) = C(m+n, m)

一般地，设c>=a, d>=b,则由(a,b)到(c,d)的非降路径数为C(c-a+d-b, c-a)

扩展问题： 在上例基础上若设m<n,求点（0,1）到点(m,n)不接触对角线 y=x的非降路径数据（接触包括穿过）

解答：从（0,1）到(m,n)的非降路径，有的接触 y=x，有的不接触，对于每条接触 y=x的非降路径，做(0,1)关于y=x的对称点(1,0)到(m,n)的对称非降路径，容易看出从（0,1）到（m,n）接触y=x的非降路径与 （1,0）到(m,n)的非降路径（必穿过y=x）一一对应，

故所求的非降路径数为 C(m+n-1, m) - C(m+n-1, m-1)

例四、将r个相同的小球放入n个不同的盒子，总共有多少种方案？

解答：该问题可以转化为r个相同的小球与n-1个相同的盒壁的排列问题

1…1 0 1…1 0 1…1 0 … 0 1…1

其中有 n-1个 0 分成 n段,每段表示不同的盒子， 每段中1的个数表示该盒子里放入的小球总数，总共r个1

即：P( r+n-1; r*1, (n-1)*0 ) = (r+n-1)! / ( r! * (n-1)! ) = C( r+n-1, r)

例五、求集合 X = { 1,2，…, n }的不含相邻整数的k元子集个数

解答：任意一个X的k元子集s都可以对应于一个由0,1组成的有序n重组（a1 a2 … an）,其中 ai = 1 当 i属于s，否则 ai = 0，当i不属于s，由于s中不含相邻整数，所以在此n重组中没有两个1是相邻的，所以子集s是与这样的n重组 S = { k*1, (n-k)*0 }之间是一一对应的，由于任意两个1彼此不相邻，故可以把（n-k）个0依次排列，然后在（n-k+1）个空隙中插入k个1，所以从（n-k+1）个空隙中选择k个位置来放置1，有 C(n-k+1, k) 种选法，这也是原问题所对应的答案。

四、母函数
生成函数（母函数）有普通生成函数和指数生成函数：
1.普通生成函数用于解决多重集的组合问题

2.指数型母函数用于解决多重集的排列问题

母函数可以解决递归数列的通项问题：斐波那契数列、卡特兰数列等

普通母函数：
构造母函数G(x), G(x) = a0 + a1x + a2 + a3* +…+ an*， 则称G(x)是数列a0,a1…an的母函数。

通常普通母函数用来解多重集的组合问题，其思想就是构造一个函数来解决问题，一般过程如下：

1.建立模型：

物品n种,每种数量分别为k1,k2,…kn个，每种物品又有一个属性值p1,p2,…pn,(如本题的字母价值)，求属性值和为m的物品组合方法数。（若数量ki无穷 也成立，即对应下面式子中第ki项的指数一直到无穷）

2.构造母函数：

G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) （一）

=a0 + a1x + a2 + a3* +…+ akk* (设kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) （二）

G(x)含义： ak 为属性值和为k的组合方法数。

母函数利用的思想：
1.把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。

2.把离散数列和幂级数对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来 确定离散数列的构造。

代码实现：
求G(x)时一项一项累乘。先令G=1=(1+0x+0+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令G=G*(1+++…)。
下面是指数型母函数的定义：

对于上面的问题“假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个组合，求其组合数。”：

（感谢 3Dnn 同学指出，下图的 28/3! 应该改为 26/3!）

引用博客1
引用博客2
引用博客3