• 数学--数论--欧拉降幂和广义欧拉降幂(实用好理解)


    一般大佬会给你证明,而菜鸟会教你怎么使用。

    先摆上公式:

    ab{abmodϕ(p)gcd(a,p)=1abgcd(a,p)1,b<ϕ(p)abmodϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)1,bϕ(p)    (modp)a^{b} equiv egin{cases} a^{bmodphi (p)} & ext gcd(a,p)=1 \ a^b & ext gcd(a,p) eq 1,b<phi (p)\ a^{bmodphi (p)+phi (p)} & ext gcd(a,p) eq 1,bgeq phi (p) end{cases} (modp)

    欧拉降幂:

    ababmodϕ(p)  gcd(a,p)=1a^{b} equiv a^{bmodphi (p)} gcd(a,p)=1
    适用范围:
    当底与取模的数互质,且b较大的时侯,我这句话用不到,直接扩展欧拉降幂就好了,时间复杂度差不了多少。

    扩展欧拉定理:

    ab{abgcd(a,p)1,b<ϕ(p)abmodϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)1,bϕ(p)     (modp)a^{b} equiv egin{cases} a^b & ext gcd(a,p) eq 1,b<phi (p)\ a^{bmodphi (p)+phi (p)} & ext gcd(a,p) eq 1,bgeq phi (p) end{cases} (modp)

    总结:

    用的时候我们只考虑扩展的就可以了,因为bmodϕ(p)bmodϕ(p)+ϕ(p)bmodphi (p)≡bmodphi (p)+phi (p)

    代码:

    这个代码的优点是,如果b太大,不能读入的话也是可以处理的。
    如果代码需要多次计算的话,可以使用线性筛法,获得欧拉函数的值。

    #include <bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    using namespace std;
    ll a,m,b;
    
    inline ll read(ll m){
        register ll x=0,f=0;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
        while(isdigit(ch)){
            x=x*10+ch-'0';
            if(x>=m) f=1;
            x%=m;ch=getchar();
        }
        return x+(f==1?m:0);
    }
    
    ll phi(ll n){
        ll ans=n,m=sqrt(n);
        for(ll i=2;i<=m;i++){
            if(n%i==0){
                ans=ans/i*(i-1);
                while(n%i==0) n/=i; 
            }
        }
        if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
        return ans;
    }
    
    ll fast_pow(ll a,ll b,ll p){
        ll ret=1;
        for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
            if(b&1) ret=ret*a%p;
        return ret;
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%lld%lld",&a,&m);
        b=read(phi(m));
        printf("%lld
    ",fast_pow(a,b,m));
        return 0;
    }
    

    题目:
    洛谷模板题

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