留数

5. 留数

目录

• 5. 留数
  • 5.1 孤立奇点
  • 5.2 留數
  • 5.3 留数在定积分计算中的应用
  • 5.4 复变函数奇点类型的判定

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首先说明一下为什么会有留数？

对于图中的这样一个积分路径，由于内部区域不完全解析。所以根据柯西积分定理，我们可以将其转化为下图的积分路径：

当通往奇点的两条路线无限接近时，就可以得到下图：

即对于大回路的积分等于对所有奇点的路径的积分之和的相反数。即：

[oint_L = oint_{L_1^-+L_2^-+L_3^-} ]

所以问题变成了如何求对于奇点的路径的积分(oint_Lf(z)dz)

由上一章的洛朗级数知，洛朗级数在幂次为-1项的系数为

[c_{-1} = frac1{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{-1+1}}dzeta = frac1{2pi i}oint_Cf(zeta)dzeta ]

由于这个系数很有用，所以专门称复变函数在某一点的洛朗级数展开式的幂次为-1的项的系数为留数。记作(mathcal{Res}[f(z),z_0])

所以就可以提前给出留数定理，对于正向闭合路径C，如果其所围区域内除了有限个孤立奇点(z_1,z_2,cdots,z_k)外处处解析，则有

[oint_Cf(z)dz = 2pi isum_{k=1}^nmathcal{Res}[f(z),z_k] ]

所以留数定理本质上是对于柯西积分定理的应用。

5.1 孤立奇点

5.1.1 解析函数的孤立奇点及分类

若函数f(z)在(z_0)的邻域内除(z_0)外处处解析，则称(z_0)为f(z)的一个孤立奇点。

根据洛朗级数的定理，我们可以将f(z)展开成洛朗级数

[f(z) =cdots+ a_{-m}(z-z_0)^{-m} + cdots+ a_0 + a_1(z-z_0) + cdots + a_n(z-z_0)^n,zin D ]

• 如果上式中的负幂项系数均为零，若记剩下的幂级数的和函数为F(z)，则F(z)是在(z_0)处解析的函数。且当(zin D)时，F(z)=f(z)，当(z=z_0)时，(F(z) = a_0)。于是令(f(z_0) = a_0)，所以f(z)在(z_0)处就是解析的了，所以点(z_0)被称为可去奇点。
• 如果上式只有有限个((z-z_0))的负幂项的系数不为零，那么孤立奇点(z_0)称为函数f(z)的极点。如果负幂项的最高次幂为((z-z_0)^{-m})，则称(z_0)为函数f(z)的m阶极点。
• 如果((z-z_0))的负幂项系数有无穷多个不为零，那么孤立奇点(z_0)称之为f(z)的本性奇点。

5.1.2 解析函数在有限孤立奇点的性质

定理：设函数f(z)在(0<|z-z_0|<delta)内解析，则(z_0)是f(z)的可去奇点的充要条件为：存在着有限极限(lim_{z ightarrow z_0}f(z)).

定理：设函数f(z)在(0<|z-z_0|<delta)内解析，则(z_0)是f(z)的极点的充要条件为：(lim_{z ightarrow z_0}f(z) = infty).

定理：设函数f(z)在(0<|z-z_0|<delta)内解析，则(z_0)是f(z)的本性奇点的充要条件为：不存在有限或无穷的极限(lim_{z ightarrow z_0}f(z)).

如(e^{frac1z})在z=0处为本性奇点，因为其展开成洛朗级数后有无穷多个负幂项不为0

5.1.3 函数的零点与极点的关系

设函数f(z)在(z_0)的邻域(N(z_0,delta)={z:|z-z_0|<delta })内解析，并且(f(z_0)=0)，则点(z_0)称为f(z)的一个零点。

m阶零点

不恒等于零的解析函数f(z)如果能够表示成(f(z) = (z-z_0)^mvarphi(z))，其中(varphi(z))在(z_0)处解析且(varphi(z) e 0)，m为某一正整数，则(z_0)为f(z)的m级零点。

定理：f(z)在点(z_0)处解析，则(z_0)是f(z)的m阶零点的充要条件为：(f(z_0) = f^{'}(z_0) = f^{(m-1)}(z_0) = 0,f^{m}(z_0) e 0)

解析函数的零点与极点，有下面的关系

定理：(z_0)是f(z)的m阶极点的充要条件是：(z_0)是(frac1{f(z)})的m阶零点。

应当注意的是，我们在求函数的奇点时，决不能只看函数的表面形式就做出判断，如函数((cos z-1)/z^4)，看起来z=0是它的四阶奇点，实际将cos z展开后是二阶奇点。

例：判断函数(f(z) = frac{sin z}{z^2(1-e^z)})在(z=0)是几阶极点。

提示：将(1-e^z)和(sin z)展开

5.1.4 解析函数在无穷孤立奇点的性质

若函数f(z)在域D：(R<|z|<+infty(R>0))内解析，则称为(z=infty)为f(z)的一个孤立奇点。

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5.2 留數

5.2.1 留數的定义和计算规则

定义：设函数f(z)在(z_0)点的去心邻域内解析，(z_0)是f(z)的孤立奇点，则f(z)在孤立奇点(z_0)的留数定义为

[frac1{2pi i}oint_Cf(z)dz ]

记作(Res[f(z),z_0])，C是包含在邻域内的围绕(z_0)的任何一条正向简单闭曲线。留数的本质还是一个柯西积分。

若(z=infty)是f(z)的孤立奇点，则定义在(z=infty)处的留数为

[Res[f(z),infty] = -frac1{2pi i}oint_Cf(z)dz ]

留数的计算定理：如果(z_0)是f(z)的m阶极点，则

[Res[f(z),z_0] = frac1{(m-1)!}lim_{z ightarrow z_0}frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}{(z-z_0)^mf(z) } ]

要求留数，即求洛朗级数的系数(a_{-1})

推论：设(f(z) = P(z)/Q(z))，(P(z))及(Q(z))在(z_0in C)点解析，如果(P(z_0) e 0,Q(z_0)=0,Q'(z) e0)，那么(z_0)为(f(z))的一阶极点，且

[mathcal{Res}[f(z),z_0] = frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} ]

若(z_0)是(f(z))的本性奇点，则(mathcal{Res}[f(z),z_0] = a_{-1})。

若(z=infty)是(f(z))的孤立奇点，则

[Res[f(z),infty] = -Res[f(frac1z)frac1{z^2}, 0] ]

5.2.2 留数的基本定理

对于正向闭合路径C，如果其所围区域内除了有限个孤立奇点(z_1,z_2,cdots,z_k)外处处解析，则有

[oint_Cf(z)dz = 2pi isum_{k=1}^nmathcal{Res}[f(z),z_k] ]

推广的留数基本定理：如果函数f(z)在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，那么f(z)在各孤立奇点（包括(infty)点）的留数之和等于0。

利用该定理，当所求留数的区域内有多个极点时，可以直接求无穷远处的留数值，则其他点的留数之和就等于无穷远的留数值之和。

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5.3 留数在定积分计算中的应用

为了求实函数f(x)在实轴上或实轴上的某一线段I上的积分，我们在I上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C，其内部为D，选取适当函数F(z)，然后在(overline D)上对F(z)应用留数定理，就能把实轴上f(x)的积分转换为F(z)在D内基地那的留数与附加曲线的积分。

5.3.1 形如(int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta)的积分

这类积分可以化为单位圆周上的复积分，设(z = e^{i heta})，则

[cos heta = frac{e^{i heta} + e^{-i heta}}2 = frac12(z+frac1z)\ sin heta = frac1{2i}(z-frac1z)\ d heta = frac1{iz}dz ]

于是

[int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta = oint_{|z|=1}R(frac1{2i}(z-frac1z),frac1{2}(z+frac1z))frac1{iz}dz ]

令

[F(z) = frac1{iz}R[frac1{2i}(z-frac1z),frac12(z+frac1z)] ]

则由留数的基本定理知

[int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta = 2pi isum^n_{k=1}Res[F(z),a_k] ]

5.3.2 形如(int_{-infty}^{+infty}R(x)dx)的积分

当被积函数R(x)是x的有理函数，而分母的次数至少比分子的次数高二次，并且R(x)在实轴上没有奇点时。若设R(z)在上半平面(Im z>0)的极点为(a_1,a_2,cdots,a_p)，则

[int_{-infty}^{+infty}R(x)dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z),a_k] ]

证明过程略

当(R(x))为偶函数时，有

[int_0^{+infty}R(x)dx = pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z),a_k] ]

注意只考虑上半平面的极点。

5.3.3 形如(int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx)的积分

当被积函数R(x)是x的有理函数，而分母次数至少比分子的高一次，并且R(x)在实轴上没有奇点时，积分是存在的。同样，若设R(z)在上半平面内的极点为(a_1,a_2.cdots,a_p)，则

[int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z)e^{iaz},a_k] ]

证明过程略。

5.3.4 它类

在前几类积分中，都要求函数在实轴上无奇点，对不满足这个条件的积分，往往适当改变积分路径也可以使得积分可求。

当被积函数R(x)是x的有理函数，而分母次数至少比分子的高一次。设R(z)在实轴上除去有限多个一阶极点(x_1,x_2,cdots,x_q)外处处解析。在上半平面内除去有限多个奇点(z_1,z_2,cdots,z_p)外处处解析，则积分存在且

[int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z)e^{iaz},z_k] + pi isum^q_{k=1}mathcal{Res}[R(z)e^{iaz},x_k] ]

证明过程略

以上四种方法都是采用了围道积分法，即将实函数的定积分转化为解析函数沿闭合路径的积分，然后运用留数定理转化为留数的计算。

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5.4 复变函数奇点类型的判定

5.4.1 奇点类型的判断

首先根据计算极限的方法判断是三种奇点的哪一种。可去奇点的极限有限，本性奇点的极限不存在。大部分情况都是极点。

5.4.2 极点阶数的判断

1. 计算当分母乘上几阶的(z)后计算出来的极限不为(infty)。如判断下面这个函数的极点类型

   [frac{e^zcdotsin z}{z^2} ]

   则有

   [lim_{z ightarrow0}zcdotfrac{e^zcdotsin z}{z^2} = lim_{z ightarrow0}frac{sin z}z = 1 einfty ]

   上面的极限乘上一阶(z)极限就不为(infty)了，说明是一阶极点。

2. 利用零点阶数进行判断

   前面讲过零点和极点有这样一个关系：

   函数(f(z))在(z_0)的m阶零点，就是函数(frac1{f(z)})在(z_0)处的m阶极点。

   还有一点是分子上的零点阶数或极点阶数可以与分母上的“抵消”，还是上面那个例子。

   (e^zcdotsin z)在0处是1阶零点，(z^2)在0处是2阶零点。两者抵消后(z^2)还有一阶零点。

   现在(z^2)在分母，所以分母上有一阶零点，说明整个函数有一阶的极点。所以该函数在0处是一阶极点。

其他类型函数的判断

极限不存在的函数在(z_0)一定是本性奇点，但是极限为(infty)不能完全判断是极点还是本性奇点，这点尤其适用与非幂级数构成的函数。

如

[e^{frac z{1-z}} ]

在(z=1)时，极限为正无穷，但是不是极点。

因为，如果将函数按照

[e^z = sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!} ]

进行展开

[e^{frac z{1-z}} = sum_{n=0}^{infty}frac1{n!}frac{z^n}{(1-z)^n} ]

所以在(z=1)处的负幂项系数是有无穷多个不为0的，所以是本性奇点。

所以对于不好判断的函数，可以考虑将函数进行泰勒级数展开。

常见的泰勒展开有：

[egin{aligned} &e^z = sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}\ &frac1{1-z} = sum_{n=0}^{infty}z^n \ &sin z = sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\ &cos z = sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n}}{(2n)!} end{aligned} ]

以及这些函数进行加减乘除、微分、积分运算得到的级数展开。

展开便可直接观察负幂项系数的个数，那个才是判断三种奇点类型的根本依据。

无穷远点处奇点的判断

对于无穷远点处的奇点，通常不好直接判断。可令

[t = frac1z ]

将t代入后就可以转化为对(g(t))在(t=0)处奇点的判断。

如判断下列函数在无穷远点的性质

[frac{z^6}{(z^2-3)^2cosfrac1{z-2}} ]

有时候需要进行泰勒级数的展开，如

[frac1{e^z-1}-frac1z=frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}=frac{-sum_{n=2}^{infty}frac{z^n}{n!}}{sum_{n=1}^{infty}frac{z^{n+1}}{n!}} = -frac12 ]

自变量为函数的复变函数

求下面函数在复平面的奇点

[sinleft[frac1{sinfrac1z} ight] ]

对于这样的复杂的函数，可以令

[omega = sinfrac1z ]

然后只要分析函数(sinfrac1z)，该函数只有在(z=0)一个本性奇点。所以使

[sinfrac1z = 0 ]

的奇点均为本性奇点，which are (z = frac1{kpi})