【算法】表达式求值--逆波兰算法介绍

逆波兰算法介绍

假定给定一个只 包含 加、减、乘、除，和括号的算术表达式，你怎么编写程序计算出其结果？

问题是：在表达式中，括号，以及括号的多层嵌套 的使用，运算符的优先级不同等因素，使得一个算术表达式在计算时，运算顺序往往因表达式的内容而定，不具规律性。 这样很难编写出统一的计算指令。
使用逆波兰算法可以轻松解决这个问题。他的核心思想是将普通的中缀表达式转换为后缀表达式。

什么是中缀表达式？例如a+b，运算符在两个操作数的中间。这是我们从小学开始学习数学就一直使用的表达式形式。

什么是后缀表达式？例如a b + ，运算符在两个操作数的后面。后缀表达式虽然看起来奇怪，不利于人阅读，但利于计算机处理。

转换为后缀表达式的好处是：
1、去除原来表达式中的括号，因为括号只指示运算顺序，不是实际参与计算的元素。
2、使得运算顺序有规律可寻，计算机能编写出代码完成计算。

算术表达式的组成部分

一个表达式有如下及部分元素组成

• 操作数：可以是任何数值：1，89 ， 3.14159 ...
• 运算符：

  分为单目运算符 如 sin , cos ， 双目运算符 如 加、减、乘、除 。

  运算符还会分为左结合性和右结合性。同级的左结合性的运算符从左往右依次计算。同级的右结合性的运算符从右往左依次计算。
  如: 7-6+1 等价于 (7-6) + 1 ，因为普通加减运算符是左结合性的。
  如：C语言中的组合赋值语句： a = b = 1 等价于 a = (b=1) ，因为赋值运算符在C中是右结合性的。
  
  对于单目运算符，还分为前缀运算符和后缀运算符，如 sin(x) 是前缀运算符，而 阶乘运算符 ： n ! 就是后缀运算符。

• 分界符：一般是圆括号 ( ) ， 用于指示运算的先后顺序。

在本文中，只会考虑算术表达式 有 加、减、乘、除 运算符， 左右圆括号 ( ， ) ，以及合法的数字简单的情况。对于更加复杂的运算符，只要对这个算法轻微修改，就可以支持。

逆波兰算法的原理

逆波兰算法的核心步骤就2个：
1、将中缀表达式转换为后缀表达式，例如输入的原始表达式是 3*（5+7） ，转换得到 3 5 7 + *
2、根据后缀表达式，按照特定的计算规则得到最终计算结果

下面详细介绍这个2步的操作。

中缀表达式转换为后缀表达式
你需要设定一个栈SOP,和一个线性表 L 。SOP用于临时存储运算符和左括号分界符( ，L用于存储后缀表达式。
遍历原始表达式中的每一个表达式元素
（1）如果是操作数，则直接追加到 L中。只有 运算符 或者 分界符（ 才可以存放到 栈SOP中
（2）如果是分界符
         Ⅰ 如果是左括号 ( ， 则 直接压入SOP，等待下一个最近的 右括号 与之配对。
          Ⅱ 如果是右括号），则说明有一对括号已经配对(在表达式输入无误的情况下)。不将它压栈，丢弃它，然后从SOP中出栈，得到元素e，将e依次追加到L里。一直循环，直到出栈元素e 是 左括号 ( ，同样丢弃他。
（3）如果是运算符（用op1表示）
        Ⅰ如果SOP栈顶元素（用op2表示） 不是运算符，则二者没有可比性，则直接将此运算符op1压栈。 例如栈顶是左括号 ( ，或者栈为空。
         Ⅱ 如果SOP栈顶元素（用op2表示） 是运算符 ，则比较op1和 op2的优先级。如果op1 > op2 ，则直接将此运算符op1压栈。
如果不满足op1 > op2，则将op2出栈，并追加到L，再试图将op1压栈，如果如果依然不满足 op1>新的栈顶op2，继续将新的op2弹出追加到L ，直到op1可以压入栈中为止。
也就是说，如果在SOP栈中，有2个相邻的元素都是运算符，则他们必须满足：下层运算符的优先级一定小于上层元素的优先级，才能相邻。

最后，如果SOP中还有元素，则依次弹出追加到L后，就得到了后缀表达式。

伪代码

#将参数中缀表达式expression转为后缀表达式存放在L中，返回L
function infixToSuffix(expression):
{
    for each element in expression        #对表达式中的每一个元素
    {
        if (element 是一个操作数)
        {
            L.append(element)             #将这个元素追加到线性表L后
        }

        else if (element 是 一个运算符)
        {
            While (sop栈 不为空  &&  sop栈顶元素 是一个运算符  && element的优先级 <= sop栈顶运算符元素的优先级 )
            {
                L.append(sop.pop())
            }
            sop.push(element);     
        }

        else if(element 是 一个分界符)
        {
            if (element is  '('  )
            {
                sop.push(element)
            }
            else if( element is  ')'  )
            {
                While (sop栈不为空 &&   sop栈顶元素 不是 '('  )    #将匹配的2个括号之间的栈元素弹出，追加到L
                {
                    L.append( sop.pop() ); 
                }
                if(sop栈不为空 )
                {
                    sop.pop()           #将匹配到的 '(' 弹出丢弃
                }
            }
        }

    }

    While (sop 栈 不为空)       #将sop栈中剩余的所有元素弹出，追加到L后
    {
        L.append(sop.pop())
    }

    return L
}   

示例图

根据后缀表达式计算得到最终结果

 

执行这步操作时，也需要一个栈scalc，用于存放计算中的操作数。

伪代码

function suffixToResult(suffix_expression)
{
    for each element in suffix_expression
    {
        if(element 是 操作数)
        {
            scalc.push(element)
        }
        else if(element 是运算符)
        {
            #从栈中弹出2个操作数 num1 和 num2 。注意：后弹出的num2是第一操作数，num1是第二操作数 。
            #因为这里考虑的都是二元运算符，因此需要弹2个元素出来进行运算。
            num1 = scalc.pop()
            num2 = scalc.pop()

            #使用element代表的运算符完成 num2 和 num1 的计算，产生临时结果 temp_value
            temp_value = num2 【element的运算符: +  ,-  ,* , / 】 num1

            #将temp_value压栈
            scalc.push(temp_value)   
        }

        #如果一切正常，最后栈scalc中仅仅只有一个元素，这个元素就是最终的结果
        return sclac.pop()
    }
}

示例图

代码实现（Java）

1、核心算法实现是 InfixExpression类中的   public SuffixExpression toSuffixExpression()  和 SuffixExpression  类中的  double getResultValue() throws Exception 。

2、并没有实现解析输入的代码，因此算术表达式只能通过硬编码构造。涉及到编译原理的知识，书到用时方恨少，哎。

3、所有的操作数内部使用double存储。

package com. lulix86 .calc ;

import java. util .ArrayList ;
import java. util .Deque ;
import java. util .HashMap ;
import java. util .Iterator ;
import java. util .LinkedList ;
import java. util .List ;
import java. util .Map ;
import java. util .regex . Matcher;
import java. util .regex . Pattern;

public class App
{

      public static void main (String [] args )
      {

            InfixExpression expression = new InfixExpression () ;

            //   (1+8)-(3*(4-1))  = 0

            expression .append ( "(") ;
            expression .append ( "1") ;
            expression .append ( "+") ;
            expression .append ( "8") ;
            expression .append ( ")") ;
            expression .append ( "-") ;
            expression .append ( "(") ;
            expression .append ( "3") ;
            expression .append ( "*") ;
            expression .append ( "(") ;
            expression .append ( "4") ;
            expression .append ( "-") ;
            expression .append ( "1") ;
            expression .append ( ")") ;
            expression .append ( ")") ;


            System . out. println( "原始表达式:" + expression );

            try
            {
                 System . out. println( "计算结果是:" + expression. getResultValue () ) ;
            } catch (Exception e)
            {

                 System . out. println( "一定是表达式输入的有问题，请检查后重试" ) ;
            }


      }


}

/**
 * 表达式元素的公父类。表达式元素具体分为：运算符类，操作数类，分界符类。因此这个类有3个子类。 这是一个抽象类。 这个类的作用如下：
 * 1、定义了表达式元素的共同属性：String content，用来存储元素的字符串形式的内容。
 * 2、限定了分界符元素和运算符元素的相关性质：如可取的content值，运算符的优先级等。
 * 2、这个类提供了一些供子类使用的工具函数：isLegalXXXX。
 *
 *
 * @see ExpressionDelimeter
 * @see ExpressionOperator
 * @see ExpressionOperand
 *
 */
abstract class ExpressionElement
{

      // -----------------------------分界符-----------------------------------

      // 表达式中的分界符：左右圆括号
      public static final String LEFT_PARENTHESES = "(" ;
      public static final String RIGHT_PARENTHESES = ")" ;

      protected static boolean isLegalDelimeter (String content)
      {
            if ( LEFT_PARENTHESES .equals ( content) || RIGHT_PARENTHESES . equals( content ))
                 return true ;
            return false ;
      }

      // -----------------------------运算符-----------------------------------
      // 运算符:这里只用到了常见的这4个运算符
      public static final String PLUS = "+" ;
      public static final String MINUS = "-" ;
      public static final String MULTIPLE = "*" ;
      public static final String DIVIDE = "/" ;

      // 将运算符 和 他的 优先级 通过 k-v 对存放到 Map中：运算符的优先级分为2个等级，用数字1 和2代表，数值越大，优先级越高
      protected static final Map <String , Integer> operatorPiority = new HashMap <> ();
      static
      {
            operatorPiority .put ( PLUS, 1) ;
            operatorPiority .put ( MINUS, 1) ;
            operatorPiority .put ( MULTIPLE, 2) ;
            operatorPiority .put ( DIVIDE, 2) ;
      }

      protected static boolean isLegalOperator (String content)
      {
            if ( ! operatorPiority. containsKey (content ))
                 return false ;
            return true ;
      }

      // -----------------------------操作数-----------------------------------
      // 通过正则表达式校验一个字符串是否是合法的数字 。
      protected static boolean isLegalOperand (String content)
      {
            Pattern numberPat = Pattern .compile ( "(\+|-)?(\d+\.)?\d+" );
            Matcher mat = numberPat .matcher ( content) ;
            if ( ! mat. matches ())
                 return false ;

            return true ;
      }

      protected final String content ;

      protected ExpressionElement ( String content )
      {
            this .content = content ;
      }

      public String getContent()
      {
            return content ;
      }

      @Override
      public String toString()
      {
            return content . toString() ;
      }

}

/**
 * 表达式运算符类。 构造函数私有，不可以自己创建实例，只能用类中预定义的4个静态类对象，分别代表了加减乘除4个运算符。 类对象不可变。
 * 实现了Comparable接口，compareTo方法用来比较2个运算符的优先级。
 *
 */

class ExpressionOperator extends ExpressionElement implements Comparable <ExpressionOperator >
{

      public static final ExpressionOperator OP_MINUS = new ExpressionOperator (ExpressionElement . MINUS) ;
      public static final ExpressionOperator OP_PLUS = new ExpressionOperator (ExpressionElement . PLUS) ;
      public static final ExpressionOperator OP_MULTIPLE = new ExpressionOperator (ExpressionElement . MULTIPLE) ;
      public static final ExpressionOperator OP_DEVIDE = new ExpressionOperator (ExpressionElement . DIVIDE) ;

      // -----------------------------------------------------

      private final int priority ; // 运算符的优先级

      // 不可以在类外实例化运算符，不允许创建其它的新的运算符
      private ExpressionOperator ( String content )
      {
            super (content ) ;

            if ( ! isLegalOperator( content ))
                 throw new IllegalArgumentException( "运算符 " + content + " 不是合法的" );

            this .priority = operatorPiority .get ( content) ;
      }

      public int getPriority()
      {
            return priority ;
      }

      @Override
      public int compareTo( ExpressionOperator other )
      {
            return this . priority - other . priority;
      }

      @Override
      public boolean equals( Object obj )
      {
            if ( obj == null)
                 return false ;
            if ( obj == this)
                 return true ;
            if ( obj .getClass () != this. getClass ())
                 return false ;

            ExpressionOperator other = ( ExpressionOperator) obj;

            return this . getContent() . equals( other .getContent ()) ;
      }

}

/**
 * 表达式操作数类。
 *
 * 使用double作为数字的存储类型。 不可变类型。 实现了Comparable接口，compareTo方法用来比较2个操作数的大小。
 *
 * 因为操作数是不可枚举的，因此这个类可以创建实例。
 */
class ExpressionOperand extends ExpressionElement implements Comparable <ExpressionOperand >
{

      private final double value ;

      public ExpressionOperand ( String content )
      {
            super (content ) ;
            try
            {
                 value = Double. parseDouble (content ) ;
            } catch (NumberFormatException e)
            {
                 throw new IllegalArgumentException( content + " 不是一个合法的数字" );
            }
      }

      public ExpressionOperand ( double value )
      {
            super (Double . toString( value ));
            this .value = value ;
      }

      public double getValue()
      {
            return value ;
      }

      @Override
      public int compareTo( ExpressionOperand other )
      {
            return Double . compare( this .value , other . value) ;
      }

      @Override
      public String toString()
      {
            return Double . toString( this .value ) ;
      }
}

/**
 * 表达式分界符类。 不可变类型。 构造函数私有，不可以自己创建实例，只能用类中预定义的2个静态类对象，分别代表左，右括号。
 *
 */
class ExpressionDelimeter extends ExpressionElement
{

      public static final ExpressionDelimeter DM_LEFT_PARENTHESES = new ExpressionDelimeter (
                 ExpressionElement . LEFT_PARENTHESES) ;
      public static final ExpressionDelimeter DM_RIGHT_PARENTHESES = new ExpressionDelimeter (
                 ExpressionElement . RIGHT_PARENTHESES) ;

      private ExpressionDelimeter ( String content )
      {
            super (content ) ;
            if ( ! isLegalDelimeter( content ))
                 throw new IllegalArgumentException( "分界符 " + content + " 不是合法的" );
      }

      @Override
      public boolean equals( Object obj )
      {
            if ( obj == null)
                 return false ;
            if ( obj == this)
                 return true ;
            if ( obj .getClass () != this. getClass ())
                 return false ;

            ExpressionDelimeter other = ( ExpressionDelimeter) obj ;

            return content . equals( other .content ) ;
      }

}

/**
 * 表达式类。 你可以把这个类看做是一个存储表达式元素的线性表，因此可以使用appendXXX方法来构造一个表达式。
 *
 * 封装了工具函数 infixToSuffix，用于将中缀表达式转换为后缀表达式。
 * 实现了 Iterable接口，可以迭代ExpressionElement元素对象。
 */

abstract class Expression implements Iterable< ExpressionElement >
{

      // ---------------------------------------------------------------------------

      // 使用ArrayList存储表达式元素
      protected final List< ExpressionElement > expression = new ArrayList <>() ;

      // 追加一个表达式元素对象，不可以追加空元素。
      public boolean append( ExpressionElement e )
      {
            if ( e == null)
                 return false ;
            expression .add ( e) ;
            return true ;
      }

      public boolean append( String content )
      {
            switch ( content )
            {
            case ExpressionElement . LEFT_PARENTHESES:
                 expression .add ( ExpressionDelimeter. DM_LEFT_PARENTHESES ) ;
                 break ;
            case ExpressionElement . RIGHT_PARENTHESES:
                 expression .add ( ExpressionDelimeter. DM_RIGHT_PARENTHESES ) ;
                 break ;
            case ExpressionElement . PLUS:
                 expression .add ( ExpressionOperator. OP_PLUS );
                 break ;
            case ExpressionElement . MINUS:
                 expression .add ( ExpressionOperator. OP_MINUS );
                 break ;
            case ExpressionElement . MULTIPLE:
                 expression .add ( ExpressionOperator. OP_MULTIPLE );
                 break ;
            case ExpressionElement . DIVIDE:
                 expression .add ( ExpressionOperator. OP_DEVIDE );
                 break ;
            default :
                 try
                 {
                      ExpressionOperand operand = new ExpressionOperand (content ) ; // 构造时使用了parseDouble
                      expression .add ( operand) ;

                 } catch (Exception e)
                 {
                      return false ;
                 }

            }
            return true ;
      }

      @Override
      public String toString()
      {
            boolean firstAdd = true ;
            StringBuilder sb = new StringBuilder () ;
            for ( ExpressionElement e : expression )
            {
                 if ( ! firstAdd)
                 {
                      sb .append ( " ") ;
                 } else
                 {
                      firstAdd = false;
                 }
                 sb .append ( e. toString ());
            }
            return sb . toString() ;
      }

      @Override
      public Iterator < ExpressionElement> iterator()
      {
            return expression . iterator() ;
      }

      public void clear()
      {
            this .expression . clear() ;
      }

      // 获取表达式最终的运算的结果
      public abstract double getResultValue() throws Exception ;

}

class SuffixExpression extends Expression
{

      private double doPlus( ExpressionOperand a , ExpressionOperand b )
      {
            return a . getValue() + b .getValue () ;
      }

      private double doMinus( ExpressionOperand a , ExpressionOperand b )
      {
            return a . getValue() - b .getValue () ;
      }

      private double doMultiple( ExpressionOperand a , ExpressionOperand b )
      {
            return a . getValue() * b .getValue () ;
      }

      private double doDevide( ExpressionOperand a , ExpressionOperand b )
      {
            return a . getValue() / b .getValue () ;
      }

      // SuffixExpression 本身已经是一个后缀表达了。getResultValue计算出结果就OK了
      @Override
      public double getResultValue () throws Exception
      {
            SimpleStack <ExpressionOperand > scalc = new SimpleStack <>() ;

            for ( ExpressionElement e : expression )
            {

                 if ( e instanceof ExpressionOperand)
                 {
                      scalc .push (( ExpressionOperand) e) ;
                 } else if ( e instanceof ExpressionOperator )
                 {

                      ExpressionOperator operator = ( ExpressionOperator) e; // 获取这个运算符
                      ExpressionOperand opf = scalc .pop () ; // 弹出二元运算符的第二个操作数
                      ExpressionOperand ops = scalc .pop () ; // 弹出二元运算符的第一个操作数
                      ExpressionOperand temp = null ; // 存储临时运算结果

                      if ( opf == null || ops == null )
                            throw new Exception( "表达式不合法，不能完成计算" ) ;

                      if ( operator. equals (ExpressionOperator . OP_PLUS))
                      {
                            temp = new ExpressionOperand (doPlus ( ops, opf)) ;
                      } else if ( operator. equals (ExpressionOperator . OP_MINUS))
                      {
                            temp = new ExpressionOperand (doMinus ( ops, opf)) ;
                      } else if ( operator. equals (ExpressionOperator . OP_MULTIPLE))
                      {
                            temp = new ExpressionOperand (doMultiple ( ops, opf)) ;
                      } else if ( operator. equals (ExpressionOperator . OP_DEVIDE))
                      {
                            temp = new ExpressionOperand (doDevide ( ops, opf)) ;
                      }

                      scalc .push ( temp) ;

                 } // else if

            } // end foreach

            if ( scalc .size () != 1)
                 throw new Exception( "表达式不合法，不能完成计算" ) ; // 从 scalc栈中取出最后一个元素就是结果

            return scalc . pop() . getValue() ;
      }

}

class InfixExpression extends Expression
{
      public SuffixExpression toSuffixExpression()
      {
            SuffixExpression suffix = new SuffixExpression () ; // suffix是一个用来存储表达式元素的线性表对象，对应算法中的L
            SimpleStack <ExpressionElement > sop = new SimpleStack <>() ; // sop 栈

            // 遍历原始表达式中的每一个元素
            for ( ExpressionElement e : expression )
            {
                 if ( e instanceof ExpressionOperand) // 如果是操作数，则直接追加到后缀表达式suffix中
                 {
                      suffix .append ( e) ;
                 } else if ( e instanceof ExpressionDelimeter ) // 如果是分界符
                 {
                      if ( e. equals (ExpressionDelimeter . DM_LEFT_PARENTHESES )) // 是 左括号,则直接压栈
                      {
                            sop .push ( e) ;
                      } else if ( e. equals (ExpressionDelimeter . DM_RIGHT_PARENTHESES )) // 是 右括号，则从 sop中弹出与这个括号配对的中间的所有元素，
                      { // 并追加到后缀表达式中
                            while ( ! sop. isEmpty () && ! sop. peek (). equals (ExpressionDelimeter . DM_LEFT_PARENTHESES ))
                            {
                                 suffix .append ( sop. pop ()); // 将元素出栈，追加到 suffix 表中去
                            }

                            if ( ! sop. isEmpty ())
                            {
                                 sop .pop () ; // 将栈顶的( 出栈，丢弃。
                            }
                      }

                 } else if ( e instanceof ExpressionOperator ) // 如果是运算符
                 {

                      while ( ! sop. isEmpty () && sop . peek() instanceof ExpressionOperator
                                 && 0 >= (( ExpressionOperator) e ). compareTo ((ExpressionOperator ) sop . peek()))
                      {
                            suffix .append ( sop. pop ());
                      }
                      sop .push ( e) ;

                 }
            } // end of foreach

            // 将 sop栈中剩余的元素全部追加到suffix后
            while ( ! sop. isEmpty ())
            {
                 suffix .append ( sop. pop ());
            }

            return suffix ;
      }

      @Override
      public double getResultValue () throws Exception
      {
            return toSuffixExpression () .getResultValue () ;
      }

}

/**
 *
 * 因为Java集合框架中的Stack类是线程安全的， 但是这里不需要这种特性，为了提高效率，使用双端队列作为内部实现，自己封装成为一个栈数据结构。
 *
 * @see java.util.Stack <E>
 * @see java.util.Deque <E>
 * @see java.util.LinkedList <E>
 */
class SimpleStack < E>
{

      private final Deque< E > deque = new LinkedList < E> ();

      public E pop()
      {
            return deque . pop() ; // 双端队列的第一个元素，也就是栈的栈顶
      }

      public E peek()
      {
            return deque . peek() ;
      }

      public void push( E e )
      {
            deque .push ( e) ; // 压栈
      }

      public int size()
      {
            return deque . size() ;
      }

      public boolean isEmpty()
      {
            return 0 == deque .size () ;
      }

      @Override
      public String toString()
      {
            StringBuilder sb = new StringBuilder () ;
            sb .append ( "栈顶[") ;
            for ( E e : deque)
            {
                 sb .append ( e. toString () + "," ) ;
            }

            sb .append ( "]栈底") ;

            return sb. toString ();
      }

}