【数据结构】图之初体验

什么是图

    "图是由一些顶点和和一组能够连接2个顶点的边组成"   ---《算法》

     

图的分类

无向图：连接顶点的连线叫 边， 只在意2个顶点是否连接，不在意谁连向谁。

有向图：连接顶点的连线叫 弧， 不仅在意2个顶点是否连接，还在意谁连向谁。

无向加权图：无向图的基础上，为边赋予一个数值，当做这个边的权重。

有向加权图：有向图的基础上，为弧赋予一个数值，当做这个弧的权重。

下面有具体的分析。

图的性质

 1、元素构成的集合中的任意2个元素之间的关系是任意的的：可能相关联，也可能不相关。可能互相关联，也可能单向关联。

 2、元素 之间无主次关系，所有元素 都是平等的 （peer）。

 3、图中的顶点是不在意位置，或者顺序的。图只在意顶点之间的连接关系。

 

 

怎样表示图

①用一个集合保存图中的所有元素

②用另一个集合保存所有元素之间的关联 关系（边，或者弧）

这个2个集合，就能确定一个图

下面举例说明。

 

 

无向图    

若G表示一个图，则  ：G = < V ,  E> 

 

其中V代表图中的所有顶点（元素）构成的有限集合

 

集合E，表示图所有的关联关系（边or弧）。我们知道 图中2个节点的关系 是由2个顶点确定的，所以，集合E中的元素都是成对的顶点。

 

根据下图可以写出这两个集合

 

V = { a,b,c,d,e,f  }

E = { (a,c) , (a,d ) , (c,e ) , ( c,b) , ( b,f  ),  (d,e)  (e,f)   }

 

V，存储所有的元素，E，存储元素之间的关联关系。

图中 a和c 有 关联，则E集合中有(a,c)这个元素。

可以发现，在下面这个图中，我们只强调2个元素之间是否有连接，而不在意是 谁连向谁，也就是连线只有 有无2种状态，没有方向，(a,c)  等价于(c,a) ,这就是无向图。

 

 

 

     

 

 

 

 

有向图

与无向图不同的是，有向图不仅在意是否关联，还强调关联的方向：c----->e    e----->c  是不同的

同样我们写出V和E 2个集合

 

V = { a,b,c,d,e,f  }

E = { <a,c> , <b,c > , <b,f>,<c,e > , <d,a>, <d,e> ,<e,c> ,  <e,f>   }

 

同时要注意：无向图中的关联关系 用  ( )  圆括号表示  ，而有向图 中 用  < > 尖括号

 

 

 

 

 一些术语解释

顶点(Vertex)：图中的元素，叫做顶点

边(Edge)：无向图中，顶点与顶点之间的连线

弧(Arc)：有向图中，顶点与顶点之间有方向的连线

弧头：

弧尾 ：

 

              

 

邻接点：      与这个顶点有直接关联的顶点

顶点的度：   与这个顶点 关联的边（弧）的数目

顶点的出度：有向图中，这个顶点向外发射多少弧，就是多少度

顶点的入度：有向图中，顶点接收其他顶点的弧的条数，就是多少度

                    有向图中：顶点的度 =  出度 + 入度

 

 

子图：若有G = <V , E >   , G1 = <V1，E1>  ,且  V1是V的子集，E1是E的子集，则  G1为G的子图

 

 

 

有圈图：允许顶点自己和自己关联

无圈图：不允顶点许自己和自己关联（不特殊说明，我们一般都是指无圈图）

 

 

 

路径：从一个顶点到另一个顶点的通路，由边(弧)组成。边(弧)的条数，就是路径的长度

       

简单路径：通路中经过的顶点不重复。

简单环   ：特殊的路径，从起点出发，再回到起点，形成的路径。经过的顶点不重复。

不特殊说明，一般我么研究的路径都是简单的。

 

 

        

 

 

无向加权图和有向加权图（又叫无向网和有向网）

 

何为加权？

加权：为边（弧）分配权值（weight），这个权值的意义在与衡量 跨越2个顶点的某项指标。比如在一个地图上，A.B  2点 用打车的费用代表这2个顶点的权。

 

      

 

 

 

 

 

连通图与非连通图

 

连通图：无向图中，任意2个顶点之间，总有路径可以互通(不一定要是直达，中途可以借助一些顶点为跳板"转达")。完全图一定是连通图。

非连通图：整个图由 n 个现孤立 连通图组成。非连通图中的每一个孤立部分都是它的极大连通子图。

 

可以这样想：将一个图的顶点想象为念珠，边为连接念珠的细绳，如果随意提起一颗念珠，所有的念珠都会被提起来，就说明这个是连通图，否则不是。

 

 

 

 

连通分量：无向图中，每一个极大连通子图都叫一个连通分量。如上图右边，A是一个连通分量，B也是一个连通分量。

连通图的（最小）生成树：   图和树的一个很大的区别是，树中一定不能有环，但是图就没有这个要求了。一个树也是一个图。

　　　　　　　　        一个连通图（注意这是前提）的生成树就是一个包含原图中所有顶点的树。

          

 

 

 

强连通图： 有向图中，任意2个顶点之间都有出，入的2种弧。

强连通分量：有向图中，极大(顶点数最多的)强连通图

 

 

 

 

无向完全图  和  有向完全图

无向完全图

无向图中，每个顶点与其他顶点都有边相关联，则这个图就是（无向）完全图。

 

可知：有n个顶点的完全图的边为 :   =    1/2 *  n   * (n-1)

 

有向完全图

有向图中，每个顶点与其他顶点都有 出 和  入 2种 弧 ，则这个图就是有向完全图

 

可知:有n个顶点的有向完全图的弧为： 2*  (  1/2 *  n   * (n-1)  )      =   n   * (n-1)

 

 

 

也可知：有n个顶点的无向图中，边数 L 满足 ：     0<= L <=   1/2 *  n   * (n-1)

               有n个顶点的有向图中，弧数 L 满足 ：     0<= L <=  n   * (n-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

下一站：图的存储和代码实现