树基本概念

定义

树

• 树(Tree)是 n(n~O) 个结点的有限集。n=O 时称为空树。

  • 在任意一棵非空树中:有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点
  • 当n>1时，其余结点可分为m(m>O)个互不相变的有限集T1、T2、……、 Tm •其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树(SubTree)

• 度

  • 结点拥有的子树数称为树的度(Degree)
  • 度为0的结点称为叶结点（终端结点）
  • 度不为0的结点称为非终端结点（分支节点）
  • 树中除了根节点，分支节点也被称为内部节点
  • 树的度是树内各结点的度的最大值

• 树的深度

  • 树中结点的最大层次称为树的深度(高度)

• 平衡因子(Balance Factor)

  • 二叉树上结点的左子树的高度 减去 右子树的高度 的值 称为 平衡因子。因此平衡二叉树上所有结点的平衡因子只能是 0 ，1 ，-1。((AVL)平衡二叉树是一颗 二叉排序树 ，其中每个结点的左子树和右子树高度差至多等于1)

• 树的路径

  • 路径长度：从一个节点到另一个节点之间的分支构成路径，路径上分支数目称做路径长度
  • 带权路径长度(WPL)：当前节点p 到根 的路径长度与节点p的权值(权值为题中给的节点所占百分比)的乘积
  • 树的路径长度：从根到各子节点的路径长度和
  • 树的加权路径长度：从根到各子节点的加权路径长度和
  • 扩展：赫夫曼树，带权路径长度(WPL)最小的二叉树

特殊二叉树

1. 斜树(左斜树/右斜树)，即线性表

2. 满二叉树

   • 在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

3. 完全二叉树

   • 对一棵具有 n 个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i (1<=i<=n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树)

性质

1. 第i层最多有多少个结点
2. 深度为k的二叉树最多有多少结点
3. 终端节点数(叶节点数)=度为2的节点数(n2)+1
4. 具有n个结点的二叉树深度为(log2n)+1。(以2为底n的对数结果+1)

二叉树顺序存储结构

• 二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，井且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，适用于完全二叉树，斜树会造成空间浪费
  

便历二叉树

• 三种遍历都是从根结点开始
  • (打印、左、右)前序遍历是先打印再递归左和右
  • (左、打印、右)中序遍历是先递归左子树，打印，再递归右子树
  • (左、右、打印)先递归左子树，再递归右子树，打印

树转换为二叉树

1. 连线。同层次兄弟连线
2. 去线。从根结点开始，每个树只保留左子树
3. 旋转调整。
   

森林转化为二叉树

1. 将每棵树分别转化为二叉树
2. 从最后一棵树开始，将二叉树拼接到前一棵树的根点的右子树上
   

二叉树查找/插入/删除

1. 查找：
2. 插入：
3. 删除：
   • 叶子节点：直接删除
   • 只有左(右)子树：直接删除结点，然后将它整个左(右)子树，整体移动到删除结点的位置即可
   • 左右子树同时有：删除节点位于根节点左半的树，找到删除结点p的直接前驱(比p大的前驱)，进行替换，然后删除；删除节点位于根节点右半的树，找到删除结点p的直接后继(比p大的后继)，进行替换，然后删除

常见树的特点

1. 二叉排序树 (BST，二叉搜索树，二叉查找树)，树非空的情况下

• 若左子树不空，则左子树 上的所有结点值均小于 它的根结点的值
• 若右子树不空，则右子树 上的所有结点值均大于 它的根结点的值
• 它的左子树与右子树分别也是一棵二叉排序树

2. 平衡二叉树 是一棵每个结点 的左子树 与 右子树 高度差 <=1 的二叉排序树

• 原理：在构建二叉排序树 的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入破坏了平衡性，若破坏了，则找出最下不平衡子树，在保持二叉排序树的特性下，调整最小不平衡子树中各结点间的链接关系，进行相应的旋转 使之成为新的平衡子树。结点h 插入值后