求素数是程序设计比赛中经常遇到的问题,最基本的方法是通过素数的定义直接判断,只能被1和它本身整除的数就是素数了。这种方法适合判断单个数是否为素数,当要求一个范围内素数而这个范围又比较大时,这种方法就不太使用了,甚至程序要运行几分钟才能算出结果。
筛法的思想是去除要求范围内所有的合数,剩下的就是素数了,而任何合数都可以表示为素数的乘积,因此如果已知一个数为素数,则它的倍数都为合数。
普通的线性筛法:
1 #include"cstdio" 2 #include"cstring" 3 using namespace std; 4 #define MAX 100000//求MAX范围内的素数 5 long long su[MAX],cnt; 6 bool isprime[MAX]; 7 void prime() 8 { 9 cnt=1; 10 memset(isprime,1,sizeof(isprime));//初始化认为所有数都为素数 11 isprime[0]=isprime[1]=0;//0和1不是素数 12 for(long long i=2;i<=MAX;i++) 13 { 14 if(isprime[i])//保存素数 15 { 16 su[cnt++]=i; 17 } 18 for(long long j=i*2;j<=MAX;j+=i)//素数的倍数都为合数 19 { 20 isprime[j]=0; 21 } 22 } 23 } 24 int main() 25 { 26 prime(); 27 for(long long i=1;i<cnt;i++) 28 printf("%d ",su[i]); 29 return 0; 30 }
普通的线性筛法虽然大大缩短了求素数的时间,但是实际上还是做了许多重复运算,比如2*3=6,在素数2的时候筛选了一遍,在素数为3时又筛选了一遍。如果只筛选小于等于素数i的素数与i的乘积,既不会造成重复筛选,又不会遗漏。时间复杂度几乎是线性的。
优化后的线性筛法:
1 #include"cstdio" 2 #include"cstring" 3 using namespace std; 4 #define MAX 100000//求MAX范围内的素数 5 long long su[MAX],cnt; 6 bool isprime[MAX]; 7 void prime() 8 { 9 cnt=1; 10 memset(isprime,1,sizeof(isprime));//初始化认为所有数都为素数 11 isprime[0]=isprime[1]=0;//0和1不是素数 12 for(long long i=2;i<=MAX;i++) 13 { 14 if(isprime[i]) 15 su[cnt++]=i;//保存素数i 16 for(long long j=1;j<cnt&&su[j]*i<MAX;j++) 17 { 18 isprime[su[j]*i]=0;//筛掉小于等于i的素数和i的积构成的合数 19 } 20 } 21 } 22 int main() 23 { 24 prime(); 25 for(long long i=1;i<cnt;i++) 26 printf("%d ",su[i]); 27 return 0; 28 }
输出的结果是这样的:
本文转载自:acm基础知识储备