题解 矩阵游戏

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题意简述

给定 ((n-1) imes (m-1)) 的矩阵 (b) ，构造 (n imes m) 的矩阵 (a) 满足：

[b_{i,j}=a_{i,j}+a_{i+1,j}+a_{i,j+1}+a_{i+1,j+1} ]

并且满足 (a_{i,j}in [0,10^6]) ，需要判无解，多组数据。

(1le Tle 10,2le n,mle 300,0le b_{i,j}le 4 imes 10^6) 。

部分分表格：

测试点编号	$n,mle $	特殊限制
(1sim 4)	(3)	无
(5sim 7)	(10)	(m=2)
(8sim 10)	(100)	(m=2)
(11sim 15)	(300)	(0le b_{i,j}le 1)
(16sim 20)	(300)	无

题目分析

测试点 (1sim 4)

测试点 (5sim 7)

(m=2) ，不妨设 (c_j=a_{j,1}+a_{j,2}) ，那么 (b_{j,1}=c_j+c_{j+1}) 并且有 (c_jin [0,2 imes 10^6]) ，暴力枚举 (c_n) 就可以一遍 (mathcal O(n)) 推出 (c_{1sim n-1}) ，然后直接检查即可，时间复杂度 (mathcal O(2 imes 10^6 imes Tn)) 。

测试点 (8sim 10)

一样的，设 (c_j=a_{j,1}+a_{j,2}) ，可以得出 (c_j=sumlimits_{k=j}^{n-1}(-1)^{k-j}b_{k,1}+(-1)^{n-j}c_n) ，对于每个 (1le j<n) ，由 (c_jin [0,2 imes 10^6]) 可以推出其对于 (c_n) 的限制，然后就可以做了，时间复杂度 (mathcal O(Tn)) 。

测试点 (11sim 15)

只会一个和满分做法差不多的做法。

此时 (a_{i,j}in [0,1]) ，想到 2-SAT 。

令 (c_{i,j}=sumlimits_{s=i}^{n-1}sumlimits_{t=j}^{m-1}(-1)^{n-s+m-t}b_{s,t}) ，那么就会有 (a_{i,j}=(-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+(-1)^{n-i}a_{i,m}+(-1)^{m-j}a_{n,j}-a_{n,m}) ，又由于 (0le a_{i,j}le 10^6) ，那么 (a_{i,j}) 就相当于给了一个限制条件：

[0le (-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+(-1)^{n-i}a_{i,m}+(-1)^{m-j}a_{n,j}-a_{n,m}le 10^6 ]

暴力枚举 (a_{n,m}) ，那么限制的就只有两个变量，看每个变量取 (0) 或 (1) 的时候对另一个变量的限制，然后跑 2-SAT 即可。

时间复杂度 (mathcal O(Tnm)) 。

测试点 (16sim 20)

显然如果第 (n) 行和第 (m) 列的 (a) 的取值都确定了，那么所有的 (a) 的取值都可以通过 (b) 唯一确定。根据经验或者大胆猜想， (a_{i,j}) 的取值肯定可以表示为某一个固定的数 (c_{i,j}) 和 (a_{i,m},a_{n,j},a_{n,m}) 的线性表示。

令 (c_{i,j}=sumlimits_{s=i}^{n-1}sumlimits_{t=j}^{m-1}(-1)^{n-s+m-t}b_{s,t}) ，那么就会有 (a_{i,j}=(-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+(-1)^{n-i}a_{i,m}+(-1)^{m-j}a_{n,j}-a_{n,m}) ，又由于 (0le a_{i,j}le 10^6) ，那么 (a_{i,j}) 就相当于给了一个限制条件：

[0le (-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+(-1)^{n-i}a_{i,m}+(-1)^{m-j}a_{n,j}-a_{n,m}le 10^6 ]

不等关系不难想到差分约束，但是注意到这个限制条件中有三个变量 (a_{i,m},a_{n,j},a_{n,m}) ，而差分约束模型只能限制两个变量间的关系，不过没有关系，我们可以“换元”，令 (S_i=(-1)^{n-i}a_{i,m},T_j=a_{n,m}-(-1)^{m-j}a_{n,j}) ，那么这个限制条件也可以写成：

[0le (-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+S_i-T_jle 10^6 ]

于是就转化成经典差分约束模型了，完全图直接使用 bellmanford 就行了，时间复杂度 (mathcal O(Tnm(n+m))) ，有一点点卡常。