因为之前的一章写了贪心算法，最小生成树也是贪心算法的一个应用，这里就先总结一下第23章，本来上周末就能搞定的，不过呆在寝室就不想做，所以就拖到了现在，话说武汉的夏天太热了，，，
1、问题引入
设计电子线路时，常常要把多个元件的引脚连接到一起，使其电位相同，要使n个引脚互相连通，可以使用n-1条连接线，每条连接线需要一定长度，所以总想找出使用连接线长度最短的连接方式，可以把这一连接线问题模型化为一个无相连通图（v,e），v是引脚集合，e是每对引脚之间可能互联的集合，对于图中的每一条边（u，v）属于e，都有一个权值w（u，v）表示连接u和v的代价（连线的长度），我们希望找到一个无回路的子集t属于e，它连接了所有的顶点，且其权值之和最小。因为t无回路且连接了所有的顶点，所以它必然是一棵树，称为生成树，就把确定树t的问题称为最小生成树问题，
这里主要给出解决最小生成树问题的两种算法：kruskal算法和prim算法。
2.1 kruskal算法
kruskal算法找出森林中连接任意两棵树的所有边中，具有最小权值的边（u，v）作为安全边，并把它添加到正在生长的森林中，设c1，c2表示边（u，v）连接的两棵树，因为（u，v）必是连接c1和其他某棵树的一条轻边，（u，v）对c1来说是安全边，kruskal算法是一种贪心算法，在算法的每一步中，添加到森林中的边的权值都是尽可能小的。
kruskal算法的实现采用了一种不相交集合数据结构（并查集），以维护几个互不相交的元素集合，其算法主要思路是：首先根据顶点数目建立|v|棵树，每棵树包含图中的一个顶点；对图中的边按照非递减顺序进行拍u；然后检查每条边，其端点u和v是否属于同一棵树，如果是，就放弃该边，否则说明两个顶点分属于不同的树，则对两个顶点所在的树进行合并。
kruskal算法中用到了（一种不相交集合数据结构-并查集），对并查集的理解参见：（并查集--学习详解http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/archive/2009/10/11/1580839.html）
kruskal算法的具体实现如下：
要生成最小生成树的图如下所示：
具体代码：
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1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #define n 9//图中点的个数 4 #define max 100 5 struct edge{ 6 int u;//起点 7 int v;//终点 8 int value;//边的权值 9 }e[max]; 10 int p[max];//用于记录最小生成树的边 11 int father[n];//father[x]表示x的父节点； 12 int rank[n];//rank[x]表示x的秩，从x到其某一后代叶节点的最长路径上边的数目 13 int cmp(const void *a,const void *b) 14 { 15 return ((*(edge*)a).value > (*(edge*)b).value ? 1:-1); 16 } 17 /*----------------------并查集的基本操作--------------------------*/ 18 void makeSet()//初始化集合 19 { 20 for(int i=0;i<n;i++) 21 { 22 father[i]=i; 23 rank[i]=0; 24 } 25 } 26 int findSet(int x)//寻找x所在集合，回溯时压缩路径 27 { 28 if(x!=father[x]) 29 father[x]=findSet(father[x]); 30 return(father[x]); 31 } 32 void unionSet(int x,int y)//按秩合并x和y所在的集合 33 { 34 if(rank[x]>rank[y]) 35 father[y]=x; 36 else if(rank[x]<rank[y]) 37 father[x]=y; 38 else 39 { 40 rank[y]++; 41 father[x]=y; 42 } 43 } 44 /*-----------------------------主函数-------------------------------*/ 45 void main() 46 { 47 int i,j,x,y,h=0,sum=0,k=0; 48 //en表示各个点之间的连接情况，为0表示无边，其他值表示边的权值 49 int en[n][n]={{0,4,0,0,0,0,0,8,0}, 50 {4,0,8,0,0,0,0,11,0}, 51 {0,8,0,7,0,4,0,0,2}, 52 {0,0,7,0,9,14,0,0,0}, 53 {0,0,0,9,0,10,0,0,0}, 54 {0,0,4,14,10,0,2,0,0}, 55 {0,0,0,0,0,2,0,1,6}, 56 {8,11,0,0,0,0,1,0,7}, 57 {0,0,2,0,0,0,6,7,0}}; 58 59 for(i=0;i<n;i++)//各个边的初始化 60 for(j=i;j<n;j++) 61 { 62 if(en[i][j]!=0) 63 { 64 e[k].u=i; 65 e[k].v=j; 66 e[k].value=en[i][j]; 67 k++; 68 } 69 } 70 makeSet();//初始化集合 71 qsort(e,k,sizeof(struct edge),cmp);//按照边的权值非递减顺序对边进行排序 72 for(i=0;i<k;i++) 73 { 74 x=findSet(e[i].u);//寻找x所在集合的标志点 75 y=findSet(e[i].v);//寻找y所在集合的标志点 76 if(x!=y)//x和y不属于同一个集合 77 { 78 unionSet(x,y);//进行x和y所在集合的合并操作 79 sum+=e[i].value;//将该边的权值计入总代价 80 p[h++]=i; 81 } 82 else{} 83 } 84 printf("最小生成树的代价为：%d\n",sum); 85 printf("最小生成树的各边及权值依次为：\n"); 86 for(i=0;i<h;i++) 87 printf("边%c - %c 权值:%d \n",e[p[i]].u+'a',e[p[i]].v+'a',e[p[i]].value); 88 }
2.1 prim算法
同kruskal算法一样，prim算法也是通用最小生成树算法的特例，其执行非常类似于寻找图的最短路径的dijkstra算法，树从任意根顶点r开始形成，并逐渐生成，直至覆盖了v中的所有顶点。在每一步中，一条连接了树A与（V,A）中某孤立顶点的轻边被加入到树A中，因此当算法终止时刻，A中的边就形成了一棵最小生成树。具体过程参见：http://ebkk.blog.163.com/blog/static/194135085201159115248724/中所述的流程图
（1）采用数据结构书本上的算法实现
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1 /*------------------------------------------------------------------- 2 *名称：prim算法的实现 3 *作者：lp 4 *时间：2012.7.2 5 *环境：vc++6.0 6 *实现描述： 7 *-------------------------------------------------------------------*/ 8 #include<stdio.h> 9 #include<stdlib.h> 10 #define n 9//图中点的个数 11 #define max n*n//图中的边的个数 12 #define inf 9999//标示无穷大 13 struct edge{ 14 int u;//起点 15 int v;//终点 16 int value;//边的权值 17 }e[max]; 18 int p[n];//p[i]用于记录依次加入最小生成树的顶点 19 20 /*-----------------------------prim算法-----------------------------*/ 21 int prim(int en[][n],int v) 22 { 23 int i,j,k,kk=0,min=inf,count=0;//min标示无穷大，count用于记录最小生成树各边的权值 24 int lowcost[n];//lowcost[i]用于记录顶点i到最小生成树t中的顶点的最短路径权值 25 int intree[n];//intree[i]用于记录顶点i是否在最小生成树中，1：在；0：不在。 26 for(i=0;i<n;i++)//初始化 27 { 28 if(en[i][v]==inf)//路径不可达 29 lowcost[i]=inf; 30 else //有可达路径 31 lowcost[i]=en[i][v]; 32 intree[i]=0; 33 p[i]=-1; 34 } 35 intree[v]=1;//标记顶点v为最小生成树中的顶点 36 p[0]=v; 37 for(i=0;i<n-1;i++)//选择其余的n-1个顶点 38 { 39 min=inf; 40 for(j=0;j<n;j++)//选出到最小生成树t中顶点最短的顶点k 41 { 42 if(intree[j]==0 && lowcost[j]<min) 43 { 44 min=lowcost[j]; 45 k=j; 46 } 47 } 48 count=count+min;//记录权值 49 intree[k]=1; 50 v=k; 51 p[++kk]=k;//记录依次加入最小生成树的顶点 52 for(j=0;j<n;j++) 53 { 54 if(intree[j]==0 && en[v][j]!=0 && en[v][j]<lowcost[j]) 55 lowcost[j]=en[v][j]; 56 } 57 } 58 return(count); 59 } 60 /*-----------------------------主函数-------------------------------*/ 61 void main() 62 { 63 int i,sum=0; 64 char vex; 65 //en表示各个点之间的连接情况，为inf表示无边，其他值表示边的权值看 :） 66 int en[n][n]={{0,4,inf,inf,inf,inf,inf,8,inf}, 67 {4,0,8,inf,inf,inf,inf,11,inf}, 68 {inf,8,0,7,inf,4,inf,inf,2}, 69 {inf,inf,7,0,9,14,inf,inf,inf}, 70 {inf,inf,inf,9,0,10,inf,inf,inf}, 71 {inf,inf,4,14,10,0,2,inf,inf}, 72 {inf,inf,inf,inf,inf,2,0,1,6}, 73 {8,11,inf,inf,inf,inf,1,0,7}, 74 {inf,inf,2,inf,inf,inf,6,7,0}}; 75 printf("输入最小生成树的构造开始顶点(a,b,c,d,e,f,g,h,i):\n"); 76 scanf("%c",&vex); 77 sum=prim(en,vex-'a'); 78 printf("最小生成树的代价为：%d\n",sum); 79 printf("构造最小生成树依次加入树的顶点为：\n"); 80 for(i=0;i<n-1;i++) 81 if(p[i]!=-1) 82 printf("%c -> ",p[i]+'a'); 83 printf("%c\n",p[i]+'a'); 84 }
（2）采用最小堆的算法实现
参考：http://lqm1987.blogbus.com/logs/67465589.html
3 参考资料
（1）算法导论
（2）并查集：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/archive/2009/10/11/1580839.html
（3）qsort：http://blog.sina.com.cn/s/blog_78b9c0f50100si6b.html
（3）prim算法：http://www.cnblogs.com/hankskfc/archive/2011/09/27/2193559.html