看到网上几乎没有相关的证明，自己yy了一种证法，写的比较辣鸡
在二项分布(Xsim B(n,p))中，令(E(x))为期望，(D(x))为方差。
众所周知(E(x)=np)。
那么有(D(x)=E(x^2)-E^2(x)=np(1-p))。
简单证明一下第一个等号：
[D(x)=sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(i-p)^{n-i}(i-E(x))^2\
=sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(i-p)^{n-i}(i^2-2iE(x)+E^2(x))\
=sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(i-p)^{n-i}i^2-2E(x)sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(i-p)^{n-i}i+E^2(x)sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(i-p)^{n-i}\
=E(x^2)-2E^2(x)+E^2(x)\
=E(x^2)-E^2(x)
]
关于第二个等号，我们发现瓶颈在于如何计算(E(x^2))。
考虑化简：
[sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(1-p)^{n-i}i^2\
=sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(1-p)^{n-i}[i(i-1)+i]\
=sum_{i=2}^{n}C_n^ip^i(1-p)^{n-i}i(i-1)+sum_{i=0}^{n}C_n^ip^i(1-p)^{n-i}i\
=sum_{i=2}^{n}frac{n!}{i!(n-i)!}i(i-1)p^i(1-p)^{n-i}+E(X)\
=sum_{i=2}^{n}frac{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!}n(n-1)p^i+np\
=n(n-1)sum_{i=2}^{n}C_{n-2}^{i-2}p^i(1-p)^{n-i}+np\
=n(n-1)p^2sum_{i=0}^{n-2}C_{n-2}^{i}p^i(1-p)^{n-2-i}+np\
=n(n-1)p^2+np\
=n^2p^2-np^2+np
]
那么：
[E(x^2)-E^2(x)=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\
=np-np^2\
=np(1-p)
]
证毕。