nyoj 952 最大四边形 计算几何 转载

事实再一次证明：本小菜在计算几何上就是个渣啊，唉，，，

题意：平面上n个点(n<=300)，问任意四个点组成的四边形（保证四条边不相交）的最大面积是多少。

分析：

原文地址

1、第一思路是枚举四个点，以O(n4)的算法妥妥超时。

2、以下思路源自官方题解

　　以O(n2)枚举每一条边，以这条边作为四边形的对角线（注意：这里所说的 对角线是指把四边形分成两部分的线，不考虑凹四边形可能出现的两个点在对角线同一侧的情况），以O(n)枚举每一个点，判断是在对角线所在直线的左侧还是 右侧。因为被对角线分割开的两三角形不相关，所以可以单独讨论：分别找出左右两侧的最大三角形，二者之和即为此边对应的最大四边形。整个算法为 O(n3)。

3、何为叉积?

　　百度百科“叉积”解释的很详细，这里用到两条：

　　一、axb 表示的是一个符合右手法则的、垂直于a、b的向量c，|c|=|a|*|b|*sinθ，θ指向量a,b的夹角，即|c|是以a、b为边的平行四边形的面积——已知3点A,B,C，|BAxCA|==S(三角形ABC)*2。

　　二、坐标表示法中，a(x1,y1),b(x2,y2)。c=axb=x1*y2-x2*y1，c的正负表示方向，正为上、负为下。而在三维中，方向不能简单的以正负表示，所以只能以一个向量的形式来描述：

　　|  i , j , k |

　　|x1,y1,z1|

　　|x2,y2,z2|  i,j,k分别表示x轴、y轴、z轴上的单位向量，矩阵的解也就是c=axb。

　　这里只是二维平面，判断点在向量所在直线的哪一侧，就可以利用叉积的方向来区别。对角线AB，两侧各取一点C、D，必然有CAxCB=-DAxDB。

注意：一开始不知道叉积的模即是三角形面积的两倍，就用axb=|a|*|b|*cosθ推S=|a|*|b|*sinθ，跑到第八组数据就超时了，纠结了好久，后来发现，原来每个三角形是在O(n3)的复杂度下求解的，多算一步就多一个O(n3)，TLE的不冤T^T；

代码：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
#define eps 1e-10

#define maxn 310
typedef struct point{
    double x,y;
}p;
p Point[maxn];

double cross(point p1,point p2,point p0){
    return ((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x))*0.5;
}

double max(double a,double b){
    if(a>b) return a;
    return b;
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lf %lf",&Point[i].x,&Point[i].y);
        double ans=0,lmax=0,rmax;
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=i+1;j<n;j++){
                    rmax=0,lmax=0;
                    for(int k=0;k<n;k++){
                        if(k!=i && k!=j){
                            double s=cross(Point[i],Point[j],Point[k]);
                            if(s<eps){
                                lmax=max(lmax,-s);
                            }
                            else{
                                rmax=max(rmax,s);
                            }
                        }
                    }
                    if(lmax==0 || rmax==0)continue;
                    ans=max(ans,(rmax+lmax));
            }
        }
        printf("%lf
",ans);
    }
    return 0;
}