P2421 [NOI2002]荒岛野人

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。

每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。

下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

输入输出格式

输入格式：

第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。

第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

输出格式：

仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
1 3 4
2 7 3
3 2 1

输出样例#1： 复制

6

说明

对于50% 的数据：N 的范围是[1…1,000]。

对于另外50% 的数据：N 的范围是[1…100,000]。

对于100% 的数据：C 的范围是[1…1,000,000,000]，N 个整数中每个数的范围是：[0…1,000,000,000]。

//和 青蛙的约会 差不多
//但是我们并不知道ans是多少，也就是说我们不知道同余方程后边的mod是多少
//所以我们要枚举一个mod数，这个mod数就是ans
//一共有n个野人，所以一共有 n*(n-1)/2 个 同余方程
//同余方程：c_i + a * p_i = c_j + a * p_j (mod ans)
//            x * (p_i - p_j) + y * ans = c_j - c_i
//不满足条件就是 (c_j - c_i) % gcd(p_i-p_j,ans) ==0 且最小的非负整数解x<=min(l_i,L_j) 
//同余方程有解，且两人会在有生之年遇到 
 
//不满足单调性，因为exgcd有多解 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int g;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        g=a;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
}

const int N=20;

int n;
int c[N],p[N],l[N];

int ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",c+i,p+i,l+i);
        ans=max(ans,c[i]);
    }
    bool flag;
    for(int P,C,x,y,mod;;++ans)
    {
        flag=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
            {
                P=p[i]-p[j];
                C=c[j]-c[i];
                if(P<0)
                    P=-P,C=-C;
                exgcd(P,ans,x,y);
                if(C%g==0)
                {
                    mod=ans/g;
                    if((x*(C/g)%mod+mod)%mod<=min(l[i],l[j]))
                    {
                        flag=1;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(flag)
                break;
        }
        if(!flag)
        {
            printf("%d",ans);
            return 0;
        }
    }
}