今天终于搞明白了卷积定理的证明，以前一直拿来就用的“时域卷积等于频域点积”终于得以揭秘：
直接证明一下连续情况好了，很容易推广到离散域（我不会）：
傅里叶变换的定义是：
FT(f) = integrate [-inf,+inf] f(t)*e^(-i*w*t) dt
卷积的定义是(先用@冒充一下卷积的算符qwq,学完latex一定改)：
f @ g = integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk
很容易证明傅里叶变换的时移(Time Shift)性质：
FT( f(t-ts) ) = integrate [-inf,+inf] f(t-ts)*e^(-i*w*t) dt
令u = (t-ts)
= integrate [-inf,+inf] f(u)*e^(-i*w*(u+ts)) dt
= e^(-i*w*ts)* integrate [-inf,+inf] f(u) du
= FT(f)*e^(-i*w*ts)
综上： FT( f(t-ts) ) = FT(f)*e^(-i*w*ts)
利用此引理可以很容易地证明卷积定理。
首先把卷积定理"时域卷积等于频域点积"化为数学语言：
FT(f @ g) = FT(f)*FT(g)
下面对它进行证明：
FT(f @ g) = integrate[-inf,+inf] [ integrate[-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk ] *e^(-i*w*t) dt
= double_integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k)*e^(-i*w*t) d(k,t)
= integrate [-inf,+inf] f(k)* [ integrate [-inf,+inf] g(t-k)*e^(-i*w*t) dt ] dk
= integrate [-inf,+inf] f(k)*FT(g)*e^(-i*w*k) dk
= FT(f)*FT(g)
证毕
就是这么简单，抽离无关变量，交换积分顺序，利用时移就可以轻松证明了~
后记：
学latex是不可能的，这辈子是不可能学latex的