• HNOI 2009 梦幻布丁 链表 启发式合并


    题意:给出一个序列,每个元素有颜色。共m次操作,改变一种颜色或统计颜色的块数

    由于m,n都比较大,所以我们直接mn暴力是不行的,要考虑优化。

    那么mn慢在哪里呢?每次操作时,都要遍历一遍整个序列,其中访问到了很多没用的元素。

    那么就从这里入手,如果我们每次只遍历要修改的元素,就能快很多。

    所以我们用链表,把每种颜色的串起来,组成多个链表以供查询。每次修改时只要沿着链表走就行了,减少了无用遍历。

    每次修改(把a变成b)时,遍历a链表,记录这种颜色贡献了多少个块,然后再遍历一遍,进行修改,然后再遍历一遍,记录现在贡献了多少个块,然后相减,加入答案,最后合并两个链表。

    因为访问到的点不会改,所以块也不会改,所以这种方法是正确的。


    但是,这种方法仍是O(mn),能不能更快一些呢?

    这里就要用到 启发式合并 ,非常神奇。

    方法很简单,每次修改时只需要遍历短的链表。

    举例来说,对于修改(把a变成b),当a表比b表短时,正常操作;

    当a表比b表长时,就交换a和b,然后以后一直把a当成b,把b当成a。(交换指针)

    没了。


    这样做复杂度变成了mlogn 。为什么?

    考虑一次合并,最坏情况下两个链表一样长,这样合并完了后链表长度翻倍。

    因为一个链表最长是n,所以即使不断翻倍,最多也是logn次。

    如果两个链表不一样长,那么单次就更少了,所以平均下来上界logn,可以接受了。

    启发式合并,很有意思。

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