为什么需要平滑操作
假设有一个预料集
我 喜欢 喝 奶茶
我 喜欢 吃 巧克力
我 喜欢 健身
天啦撸，一起同过窗 要出 第三季 了
这个时候要计算“我喜欢喝咖啡”的概率
假设我们用bi-gram模型来计算，也就是说
P(我喜欢喝咖啡) = P(我)P(喜欢|我)P(喝|喜欢)P(咖啡|喝) = (3/16) * (1) * (1/3) * (0) = 0
但是我们都容易感觉出来，“我喜欢喝咖啡”是符合语言习惯的句子，也就是说，虽然现在的语料库中没有这个句子，但是将来也有可能出现，但是我们算出的这个句子出现的概率是0，这不符合常识。因为语料库中没有出现“喝”后面接“咖啡”，只能说明这个句子未来出现的概率比较小，但是不排除它会出现，毕竟“我喜欢喝”这个前缀的概率该是很大的，“喝 咖啡”没有出现，只能说明“喝”后面接“咖啡”的概率很小，但是就将这个句子的概率定为0是不科学的。那么，该如何做才能使得没出现的搭配也能有一个小的概率呢？
Add-one smoothing
直接给公式：
$$P(w _{i}| w_{i-1}) = frac{C(w_{i-1}, w_{i}) + 1}{C(w_{i-1})+v} $$
这里的v是词典库的大小，注意，是词典库的大小，不是训练的预料集分词之后的词语个数。例如，对于上面那个预料集，分词之后有16个单词，但是词典库的大小是12个。所以v是12哦。
分母加1可以理解，为了让那些出现频次为0的$C(w_{i-1}, w_{i})$算出来的概率不为0，从而避免了因为它使得整个句子的概率为0了。
可是为什么分子要加v呢，笨蛋，为了使得$sum_{w_{i}}^{} frac{C(w_{i-1}, w_{i}) + 1}{C(w_{i-1})+v} $为1啊，物理意义就是，词典库中有v个词汇，$w_{i-1}$后面接的单词在这v个词汇之中的概率要为1，也就是加起来为1。
add-k Smoothing
没啥好说的，上公式：
$$P(w _{i}| w_{i-1}) = frac{C(w_{i-1}, w_{i}) + k}{C(w_{i-1})+kv} $$
只是由加1变成了加k而已啦。add-one smoothing和add-k smoothing都是拉普拉斯平滑
interpolation
但是其实上面介绍的两个平滑还是会有一个问题没有解决
下面举一个例子
假设我们有语料库
in the bathroom
the kitchen
kithcen
arboretum
如果通过add-one smoothing，我们计算P(kitchen|in the)和P(arboretum|in the)的值是一样的，因为他们的频次都是0，所以值都是(0+1)/(1+ 7) = 1/8。但是我们直观感觉，in the kitchen 肯定要比in the arboretum的概率要大得多，那么这种感觉是怎么来的呢？因为kitchen和the kitchen出现的次数大于arboretum和the arboretum啊笨蛋。所以我们计算tri-gram模型的概率的时候，如果能够考虑bi-gram和unigram的概率，那么就能避免上述情况了。
公式也很简单，如下：
$$P^{'} (w_{n}|w_{n-1},w_{n-2}) = lambda _{1}P (w_{n}|w_{n-1},w_{n-2}) +lambda _{2}P (w_{n}|w_{n-1})+lambda _{3}P (w_{n})$$
其中$lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}$是可以变化的参数，且满足$lambda _{1} + lambda _{2} + lambda _{3} = 1$
good-turning smoothing
老规矩，先说为什么需要发明这个算法，请看下图哦
Q1:总共18条鱼，有一条鲨鱼，好简单，不就是1/18吗
Q2：对哈，还有可能出现新鱼种，但是这个该怎么算呢，又不知道新鱼种的比例之类的，没关系，对于前面18个已经钓到的鱼来说，鲨鱼，草鱼，鳗鱼都只是钓到了一次，所以是不是可以认为是新鱼种呢，所以概率就是1/6
Q3:咦，既然新鱼种也占了一部分，那确实不能再用1/18表示接下来钓到鲨鱼的概率了呢，那么怎么表示呢，就是如下的公式：
如果对一个语料库进行统计之后，要预测接下来出现某个单词的概率
对于没有出现的单词：
$$P = frac{N_1}{N} $$
对于出现c次的单词：
$$P = frac{(c+1)N_{C+1}}{N_C*N} $$
这里的$N_c$指的是在预料集中出现频次为c的单词的个数
实践证明，good-turning算法得出的概率和实际情况很符合，如下图所示：第一列r是出现频次，第二列Nr是相应频次的单词个数，第三列是根据good-turning算法算出的下一次会出现的概率，第四列是在测试集中对相应频次的单词的个数的统计结果，与第三列很相似啊，兄嘚！！！！太激动了，仿佛是我发的论文一样。靠，原来不是我发的
