Algs4-2.3.8Quick.sort()在处理N个全部重复的元素时比较次数

2.3.8Quick.sort()在处理N个全部重复的元素时大约需要多少次比较？

答：N(lgN-1)-lgN，一个更精确试验数据是：N(lgN-1)+2,目前没法分析出这个结果。

1）对于每个元素个数大于1的子数组，数组的第一个元素作为分界元素，然后从第二个元素和最后一个元素开始向中间移动，当左右两指针相邻，即左指针i+1=右指针j时,这段的每个元素与这个分界元素进行了一次对比，这段的元素个数为子数组元素个数-1,那么对比次数为这个子数组元素个数-1次。

在左右两指针相邻的情况下，如果这个子数组元素个数为奇数，左指针i向前推进一位，此时会再进行一次对比，推进后满足左指针i=右指针j，这个子数组的对比就完成了。

在左右两指针相邻的情况下，如果这个子数组元素个数为偶数，右指针j向前推进一位，此时会再进行一次对比，推进后满足左指针i=右指针j,这个子数组的对比就完成了。

子数组的对比次数=左右指针相邻时对比次数+左指针或右指针向前推进1位时对比的1次=(子数组的元素个数-1)+1=子数组的元素个数

2)子数组只有1个元素时对比次数为0。

3)第1层时，有1个子数组，长度为N，这一层的对比次数为N。

3)第2层时，有2个子数组，上一层的j位置元素不在这2个子数组中，此层的元素个数=上一层元素个数减1=N-1,此层的对比次数为N-1。

4)第3层时，有4个子数组，上一层2个子数组各有一个位置j的元素不在这4个子数组中，此层的元素个数为上一层的元素个数减2=(N-1)-2，此层的对比次数为(N-1)-2。

5)第4层时，有8个子数组，上一层4个子数组各有一个位置j的元素不在这8个子数组中，此层的元素个数为上一层的元素个数减4=((N-1)-2)-4，此层的对比次数为((N-1)-2)-4。

6)归纳得：子数组长度大于1时，每层的对比次数是上一层元素个数-上一层子数组个数。

7)由于子数组长度大于1时才有比较，所以有比较的层次数是 1(顶层)+lgN-1(底层)=lgN。

8）顶层有对比，但未减少元素。底层没有对比。倒数第二层的减少元素数与倒数第三层相关，那么有减少元素个数的层数有lgN-1(底层)-1(倒数第二层)=lgN-2

9)将第6点的归纳，按下面的方式来求对比次数

总的对比次数=N*对比层数 - 各层的元素减少数之和

总的对比次数=N*lgN - 各层的元素减少数之和

各层的减少元素个数如下：
1=2^0=2^1-1
1+2=2^0+2^1=2^2-1
1+2+4=2^0+2^1+2^2=2^3-1
...
1+2+4+...2^(lgN-2)=2^(lgN-1)-1

所有项求和之前先看下面的闭公式推导
x1=2^1-1=2^0 
x2=2^2-1=2^0+2^1
x3=2^3-1=2^0+2^1+2^2
x4=2^4-1=2^0+2^1+2^2+2^3
xn=2^(n+1)-1=2^0+2^1+2^2+2^3+2^n

S=x1+x2+x3+x4+...xn
S=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+...(2^(n+1)-1)
S=2^1+2^2+2^3+2^4+...2^(n+1)-n*1
S=2^0-2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...2^(n+1)-n*1
S=2^(n+2)-1-2^0-n*1
S=2^(n+2)-1-1-n
S=2^(n+2)-n-2

按此闭公式得各层的减少元素个数和为
2^(lgN-2+2)-(lgN-2)-2
=2^lgN-lgN
=N-lgN

再代入总的对比次数=N*lgN-N-lgN
=N(lgN-1)-lgN

10)试验结果：


11）试验代码：
public class E2d3d8
{
    static int Cn=0;
    public static void sort(Comparable[] a)
    {
      Cn=0;
      StdRandom.shuffle(a);
      sort(a,0,a.length-1);
      StdOut.printf("N=%5d Cn=%8d N(lgN-1)+lgN=%8.0f  N(lgN-1)+2=%8.0f ",a.length,Cn,a.length*(Math.log(a.length)/Math.log(2)-1)+Math.log(a.length)/Math.log(2),a.length*(Math.log(a.length)/Math.log(2)-1)+2);
    }
   
    private static void sort(Comparable[] a,int lo,int hi)
    {
        if (hi<=lo) return;
        int j=partition(a,lo,hi);
        sort(a,lo,j-1);
        sort(a,j+1,hi);
    }
 
    private static int partition(Comparable[] a,int lo,int hi)
    {
        int i=lo,j=hi+1;
        Comparable v=a[lo];
        while(true)
        {
            while(less(a[++i],v)) if(i==hi) break;
            while(less(v,a[--j])) if(j==lo) break;
            if(i>=j) break;
            exch(a,i,j);
        }
        exch(a,lo,j);
        return j;
    }
       
    private static boolean less(Comparable v,Comparable w)
    { Cn++;return v.compareTo(w)<0;}
   
    private static void exch(Comparable[] a,int i,int j)
    {
        Comparable  t=a[i];
        a[i]=a[j];
        a[j]=t;
    }
   
    private static void show(Comparable[] a)
    {
        for (int i=0;i<a.length;i++)
            StdOut.print(a[i]+" ");
        StdOut.println();
    }
   
    public static boolean isSorted(Comparable[] a)
    {
        for (int i=1;i<a.length;i++)
            if(less(a[i],a[i-1])) return false;
        return true;
    }
   
    public static void main(String[] args)
    {
        int N=1;
        for (int i=0;i<18;i++)
        {
         Double[] a=new Double[N];
        for(int j=0;j<a.length;j++)
            a[j]=0.0;
        sort(a);
        N=2*N;
        }
    }
}