寻找所缺的数

算法导论第四章思考题4-2：

      某数组A[1..n]包含所有从0到n的整数，但其中一个整数不再数组中。在这个问题中，我们不能由单一的操作来访问A中的一个完整整数，我们所能用的唯一操作就是“取A[i]的第j位”，这个操作所花的时间为常数。设计一种算法能在O(n)时间内找出所缺的整数。A之外的任一完整整数任可以由一个单一的操作来访问。

思路：第四章的主题是“递归式”，这个问题很可能可以采用分治法，采用某种手段将问题的规模缩小。下面所采用的除法符号”/"为计算机整形除法计算符。

（1）对于A中所有整数的最低位来说，如果A是有序的，0和1是交替出现的，0的总个数和1的总个数最多差1。依据n是奇偶性可以判定0~n的最低位0的个数和1的个数。那么对A[1..n]的最低位进行一轮统计，就可以得出所缺的那个数的最低位是0还是1。

     a)假设n为偶数，那么0~n的最低位0的个数是n/2+1,1的个数是n/2。进行一轮统计后如果所缺整数的最低位是0，那么我们只要对这些最低位是0的数组项进行继续调查就能找出所缺的整数：忽略最低位，问题转化为在这个子数组中找出0到n/2所缺的数；如果发现所缺的数的最低位是1，同样只要对这些最低位是1的数组项进行继续调查：忽略最低位，问题转化为在这个子数组中找出0到n/2-1所缺的数。

     得出的递归式是： T(n) = T(n/2) + n。

    PS：如果n是偶数，那么对序列中0~n所有偶数进行除2处理，得到的序列是0~n/2；对0~n中所有的奇数进行除2处理，得到的序列是0~n/2-1。

           如果n是奇数， 那么对序列中0~n所有偶数进行除2处理，得到的序列是0~n/2；对0~n中所有的奇数进行除2处理，得到的序列是0~n/2。

     b)n为奇数，类似a）的分析方法。

（2）假设考虑最高位。假设 k = [log₂ n]—取整，即A中的数项有k+1位。那么0~n中的最高位为0的个数为2^k （0~ 2^k -1） ，最高位为1的个数是n-2^k 。

对最高位进行一轮统计可以得出结论：所缺的数字在0~2^k -1内，还是2^k ~n内，如果是前者忽略最高位，问题转化为在子数组中寻找 0~2^k -1中所缺的项；

如果是后者，忽略最高位，问题转化为在子数组中寻找0~n-2^k 中缺少的数。

另一题：

如果不像上题那样限制读取数据方式，如何寻找A[1...n]中所缺的数。

（1）对0~n求和，在减去A中数据的和。

（2）用异或操作，0^1^...^n^A[1]^...^A[n] 为所缺的数。

（3）利用快速排序在一轮快排结束后，如果中轴元素b所处的位置要么为b+1，要么为b；如果是前者，问题转化为在A[b+2...n]中寻找b+1~n之内所缺的数；如果是后者，问题转化为在A[1~b-1]中寻找0~b-1之内所缺的数。