假设线性子空间的基B={v1,v2,...,vk}, 向量 a = v1c1+v2c2+...+vkck，那么(c1,c2,...,ck)即为a基于B的坐标。
换句话说，坐标是向量在某组基下的表示。此时，我们称B定义了一个坐标系。
前面说过，坐标和向量的概念有些时候是可以互换的，实际上向量a，本身就是该向量在Rn的标准基下的坐标。
2、坐标变换
假设向量a在基{v1,v2,vk}下的坐标已知为b，矩阵C={v1,v2...vk}，那么有 a = Cb，C就是这个坐标变换的变换矩阵。
反过来通过a来求b要复杂一些，如果C是个方阵(该方阵显然是可逆的)，那么 b = I(C)a，C逆就是这个变换矩阵；
C是方阵的唯一可能就是{v1,v2,..vk}是Rn的一组基，就是说Rn的任意一个向量都可以转换为基于C的一个坐标。
如果C不是方阵，那么就要求解方程Cx=a，可能无解，毕竟此时C张成的向量空间只是Rn的一个子空间。
3、基于基底的线性变换矩阵
假设一个从Rn到Rn的线性变换T，可以表示为T(x)=Ax，A是变换矩阵。
严格上说，A是变换T在标准基下的变换矩阵。如果不是基于标准基，则变换矩阵不是A。
假设矩阵C是一个基底矩阵，变换T在C下的变换矩阵为A，向量x基于C的坐标为x‘，那么有 x' =I(C) x，变换T在C下的变换矩阵为D，有Dx' =I(C) Ax = I(C)ACx‘，因此有D = I(C)AC。
因此，基于不同的基底坐标系来考虑同一个变换T时，有不同的变换矩阵，只要知道T在标准基下的变换矩阵，就可以很容易计算出对应的变换矩阵。
通过选择一组特定的基底，可以将变换矩阵A转换乘变换矩阵D，在特定的情况下可以简化计算；比如将D变成一个对角矩阵。
4、改变基底有助求变换
基于第三节可以知道，一个知道一个变换在标准基的变换矩阵，就可以很容易求出在另一组基下的变换矩阵，反过来也是可以的。
因此如果通过选取一组基可以很容易求出相同的变换的矩阵，再去求变换在标准基下的矩阵就很容易了。
假设有一个变换T(x)=x关于某条直线L对称的点。
1)、可以选取直线L的向量v1，有T(v1)=v1，再选取一个向量v2，使得T(v2)比较容易求取，以{v1,v2}为基；
2)、基于新的基底，变换D = {T(e1),T(e2) } T(e1)等于v1在标准坐标系下的T变换在新基底下的表示，T(e2)类似。
3)、A = I(C)AC
5、标准正交基
如果一组向量B={v1,v2,...,vk}, 假设任意vi的长度为1，且vi.vj=0 (i!=j)，即任意两个基向量是正交的，且每个向量都是单位向量；
此时B必然是线性无关的，是某个子空间的基，称做标准正交基。
标准基则指{{1,0,...},{0,1,...},{0,0,...,1}}这一组基。
6、标准正交基的坐标
x = c1v1+c2v2+...ckvk => vi.x = c1v1.vi+...+ckvk.vi = ci
因此：x在一组标准正交基{v1,..,vk}下的坐标为{v1.x,v2.x,...,vk.x}。
7、正交基下求子空间投影
B={v1,v2,...,vk}是一组正交基，那么依据前面章的只是，任意向量x = v+w，其中v是子空间B的成员，w是B的正交补的成员。
x = c1v1+...+ckvk+w = > vi.x = vi.c1v1+...+vi.ckvk+vi.w = ci
于是投影坐标 = {v1.x,v2.x,...,vk.x}
而投影矩阵 = BT(B)
上一章说了，一般性的子空间投影的变换矩阵为 B*(T(B)B)逆*T(B)，对比之间去少了这一项 (T(B)B)逆；
实际上，因为B是一组正交基，T(B) B = 单位矩阵，也就是说如果B是方阵 T(B)=B逆。
这个特性结合第3、4节的内容，当选取一组基来求变换时，尽量选取一组正交基。
8、正交矩阵变换的保角性和保长性
当通过正交变换矩阵进行线性变换时，向量的长度以及向量之间的角度保持不变。
1、||Cx|| = Cx.Cx = T(x)T(C)Cx = T(x)x；
2、v.w = ||v||||w||cosƟ cosƟ = ||v||||w||/v.w cosƟ' = ||Cv||||Cw||/Cv.Cw = ||v||||w||/T(v)T(C)Cw = ||v||||w||/v.w
9、将基转换成标准正交基
假设知道子空间的一组基B={v1,v2,...}，如何求取子空间的一组标准正交基{u1,u2,...}
1）假设B={v1},那么只要对v1进行标准化即可 u1=v1/||v1||；
2）假设B={v1,v2}，那么先对v1进行单位化得到{u1,v2}，令y2 = v2 - v2在u1上的投影，那么u2 = y2标准化
3）假设B={v1,v2,v3}，先用2的方法求出u1，u2，令y3=v3-v3在{u1,u2}上的投影，然后u3=y3标准化
以此类推，这个过程叫做schmidt过程