算法导论42 找出所缺的整数

【转】

  问题：   某数组A[1..n]含有所有从0..n的所有整数，但其中有一个整数不在数组中，通过利用一个辅助数组B[0..n]来记录A中出现的整数，很容易在 O(n)时间内找出所缺的整数。但在这个问题中，我们却不能由一个单一操作来访问A中的一个完整整数，因为A中元素是以二进制表示的。我们所能用的唯一操 作就是“取A[i]的第j位”这个操作所花时间为常数。      

证明：如果访问数组A中信息的唯一方式是这种单一位操作，仍能在O(n)时间内找出所缺的整数。A之外的任一完整整数仍然可以由一个单一操作来访问。【算 法导论 中文版  P50  4-2】
       昨天晚上看算法导论看到了这一题，没有想多久，没想通。当时想的是把A中的每一个信息都逐个获取，但是复杂度是O(lgn)，今天在网上看别人的博客，学会了这个方法。利用了二进制的特点。(后面的东西是修改了Jianxing的blog里的。地址http://gonewiththedream.spaces.live.com/blog/cns!4327B97AC534D77E!235.entry)

基本方法就是用二分法：

1, 遍历整数0到n的第一位，分成两个数组：P1[1] 和P0[1]，分别代表第一位是1，0的数，并记录第一位是1的个数CountN，代价为O(n)
2, 遍历数组A[1...n]的第一位, 分成两个组：Q1[1]和Q0[1]，分别代表第一位是1，0的数，并记录1的个数CountA，代价为O(n)
3, 比较CountN和CountA的值，结果可能有两种情况CountN = CountA，或者CountN = CountA + 1， 前者表明所缺数的第一位为0， 后者为1，代价为O(1)
4, 通过3的结果，随后我们可以在P1[1]和Q1[1]（CountN>CountA，即缺少第一位为1的数）  或者 P0[1]和Q0[1](CountN=CountA，即缺少第一位为0的数)中的第2位中重复步骤1，2中的操作，记录数组P1[2]、P0[2]和 CountN'及Q1[2]、Q0[2]和CountA'。代价为O(n/2)和O(n/2), 经过比较后可得到所缺数第二位是0还是1，决定接下来比较P1[2]和Q1[2]  或者 P0[2]和Q0[2]，代价O(1)
5, 不断重复Ceiling(lg(n))次，最后即可找到所缺数总代价为2* (O(n) + O(n/2) + ... +O(n/pow(2, k))) + ... + O(1)) = 2* O(2n) = 4*O(n) = O(n)

当然这里忽略了一个问题，如果A中缺了一个，这应该是n-1个数，则多出来的那个数是什么呢，如果和其他数有重复，上面的方法就无效了，情况变得相当复杂。因此上面的只适用于多出的一个数为0，或者干脆就只有n-1个数。

【另】

比较弱的方法：1到n所有数字加起来的和 减去 A[1]到A[n]的和

比较犀利的方法：凑m，m=4k-1,并且是4k-1>=n的最大整数(比如n=7，则m=7；n=16，则m=19；n=21，m=23以此类推)
那么只需要A[1]^A[2]^……^A[n-1]^A[n]^{A[m-2]^A[m-1]^A[m]}，即可

原因：从4的整数倍开始，连续4个数字异或，结果为(例如4^5^6^7的结果是0；204^205^206 = 207；8^10^11=9)
所以0^1^2^……^m的结果为0，却哪个数字，则A[1]^A[2]^……^A[n-1]^A[n]^{A[m-2]^A[m-1]^A[m]}的结果就是所缺的数字