矩阵树定理和矩阵求逆学习笔记

前置知识：高斯消元

先说矩阵求逆吧。

矩阵求逆

定义： 如果对于两个矩阵 A, B, 且 (A * B) 等于单位矩阵，那么就说 B 矩阵为 A 矩阵的逆矩阵。（通俗的说就是相乘为单位矩阵的矩阵）

求法不少，这里给一种非常简单但是不带证明的方法。

我们把一个单位矩阵接在 A 矩阵的右边，拼成一个 (n * 2n) 的矩阵，然后对这个矩阵进行高斯消元（类似），最后右边加入的那个矩阵就是 A 矩阵的逆矩阵。

证明我不是很会，所以就不说了，这儿结论记住就完了吧。

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矩阵树定理

矩阵树定理用处很广，主要作用是求生成树的个数。

行列式

行列式是矩阵的性质，是一个数。

行列式的原始定义：
用处不大（主要与性质的证明有关），其实知道它与每一行全排列的逆序对有关系就行了。

基本求法：
消元求行列式，就是把这个矩阵消成上三角矩阵，然后把对角线上的数乘起来就是这个矩阵的行列式。

性质:（这个记住就行了）

1. 单位矩阵的行列式为1。
2. 交换矩阵的两行，行列式变号。（这个性质非常重要）
3. 若某一行乘一个数 x,那行列式乘 x。（这个比较好理解,因为这一行选且只选一个嘛。）
4. 某一行加上另一行的倍数，行列式不变。（很重要）

常用的性质就这么多，行列式只要记住性质并且会求就完了。

下面回归矩阵树定理。

经典

对于一个无向无权图，设矩阵 A 为临接矩阵，D 为其的度数矩阵，
它的基尔霍夫矩阵 K 就是 D - A。
然后令 KK 为 K 消去任意一行和那一列的矩阵。
那么 KK 的行列式就是这个图的生成树的个数。

加权

容易理解的情况 : 带重边的情况, 上面的经典矩阵树定理也是能够处理的。

根据乘法原理,对于某种生成树的形态,其贡献为每条边重的次数的乘积。

如果把重边次数理解成权值的话,那么矩阵树定理求的就是 : 所有生成树边权乘积的总和。

(这里注意度数矩阵变成了相邻边的权值和)

有向

这个就更简单了，主要分为内向树和外向树两种情况。
对于内向树我们只要出边，而对于外向树我们只要入边。（类似相反）
顺便说一下对于有向图，你去掉第 X 行和第 X 列就是代表着以 X 为根的生成树。

然后就没啥东西了，矩阵树定理的出题主要就是套各种东西最后用矩阵树定理计算。

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再就是对于模数不是质数的情况我们需要用辗转相除法解决。