HDOJ5015 233 Matrix（矩阵乘法加速递推）

原题链接：HDOJ5015

题意简述：给定矩阵每个元素计算公式，求下标为（m，m）的元素的值。

解题思路：刚开始想着递推求出整个矩阵，后来我哭了。m 可达1e9，要化简到 lg 级别才能不超时，这时我隐约想到用转移矩阵加快速幂做了，根据《算法竞赛进阶指南》P151页所述，如果一类问题具有如下特点：

• 可以抽象出一个长度为n的一维向量，该向量在每个单位时间发生一次变化
• 变化的形式是一个线性递推（只有若干“加法”或者“乘一个系数”的运算）
• 该递推式在每个时间可能作用于不同的数据上，但本身保持不变
• 向量变化时间（即递推的轮数）很长，但向量长度n不大。

那么就可以考虑采用矩阵乘法进行优化。具体步骤就是构造出转移矩阵、状态矩阵，通过对转移矩阵的快速幂来加速递推。时间复杂度为(n^3 lgT)，其中T为递推轮数。

代码示例（如何构造转移矩阵于状态矩阵就不写了，手太冷了，而且我也讲不好）：

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int maxn = 50;
const int M = 10000007;
struct Matrix{
	int n;
	int v[maxn][maxn];
	Matrix(int n){
		this->n = n;
		memset(v,0,sizeof v);
	}
	Matrix operator *(const Matrix &b) const{
		Matrix C(n);
		for(int i = 0;i < n;i++)
		for(int j = 0;j < n;j++)
			for(int k = 0;k < n;k++)
				C.v[i][j] = (C.v[i][j] + 1ll*v[i][k]*b.v[k][j]%M) % M;
		return C;
	}
	Matrix operator +(const Matrix &b) const{
		Matrix C(n);
		for(int i = 0;i < n;i++)
		for(int j = 0;j < n;j++)
			C.v[i][j] = (v[i][j] + b.v[i][j])%M;
		return C;
	}
	void qpow(int k){
		Matrix E(n);
		Matrix A = *this;
		for(int i = 0;i < n;i++) E.v[i][i] = 1;
		while(k){
			if(k&1) E = E*A;
			A = A*A;
			k >>= 1;
		}
		*this = E;
	}
};
int main(){
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){
		Matrix tran(n+2);
		for(int i = 0;i <= n;i++){
			tran.v[i][0] = 10;
			tran.v[i][n+1] = 1;
		}
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			for(int j = 1;j <= i;j++)
				tran.v[i][j] = 1;
		tran.v[n+1][n+1] = 1;
		tran.qpow(m);
		int t[n+2],ans[n+2];
		memset(ans,0,sizeof ans);
		t[0] = 23,t[n+1] = 3;
		for(int i = 1;i <= n;i++)	scanf("%d",&t[i]);
		for(int i = 0;i < n+2;i++)
			for(int j = 0;j < n+2;j++)
				ans[i] = (ans[i] + 1ll*tran.v[i][j]*t[j]%M)%M;
		printf("%d
",ans[n]);
	}
	
}