1 .基本概念
AVL树的复杂程度真是比二叉搜索树高了整整一个数量级——它的原理并不难弄懂，但要把它用代码实现出来还真的有点费脑筋。下面我们来看看：
1.1 AVL树是什么？AVL树本质上还是一棵二叉搜索树（因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的），它的特点是：
1. 本身首先是一棵二叉搜索树。
2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
例如：
5 5
/ /
2 6 2 6
/ /
1 4 7 1 4
/ /
3 3
上图中，左边的是AVL树，而右边的不是。因为左边的树的每个结点的左右子树的高度之差的绝对值都最多为1，而右边的树由于结点6没有子树，导致根结点5的平衡因子为2。
1.2 为什么要用AVL树？有人也许要问：为什么要有AVL树呢？它有什么作用呢？
我们先来看看二叉搜索树吧（因为AVL树本质上是一棵二叉搜索树），假设有这么一种极端的情况：二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5，也就是：
1
2
3
4
5
聪明的你是不是发现什么了呢？呵呵，显而易见——这棵二叉搜索树其实等同于一个链表了，也就是说，它在查找上的优势已经全无了——在这种情况下，查找一个结点的时间复杂度是O(N)！
好，那么假如是AVL树（别忘了AVL树还是二叉搜索树），则会是：
2
/
1 4
/
3 5
可以看出，AVL树的查找平均时间复杂度要比二叉搜索树低——它是O(logN)。也就是说，在大量的随机数据中AVL树的表现要好得多。
1.3 旋转假设有一个结点的平衡因子为2（在AVL树中，最大就是2，因为结点是一个一个地插入到树中的，一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整，因此平衡因子最大不可能超过2），那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时，只可能是以下四种情况造成的：
1. 对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
2. 对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
3. 对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
4. 对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
情况1和4是关于该点的镜像对称，同样，情况2和3也是一对镜像对称。因此，理论上只有两种情况，当然了，从编程的角度来看还是四种情况。
第一种情况是插入发生在“外边”的情况（即左-左的情况或右-右的情况），该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。第二种情况是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。
1.3．1 单旋转情况1：对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
左边为调整前得节点，我们可以看出k2的左右子树已不再满足AVL平衡条件，调整后的为右图。
我们可以看出，解决办法是将x上移一层，并将z下移一层，由于在原树中k2 > k1，所以k2成为k1的右子树，而y是小于k2的，所以成为k2的左子树。
为了设计算法，我们这里来看一个更易理解的：插入的是节点“6”
算法设计：由于是情形1对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入，该节点是“8”，首先我们不考虑其父节点的情况，因为我们创建节点是递归创建的，可以不用考虑其父节点与其的连接，这在后面递归创建的时候会说到，由于“8”的右孩子将不会发生变化，但是其左孩子设为“7”的右孩子，将7的右孩子设为“8”及其子树，然后返回“7”节点的指针。
实现代码：
//情形1
AVLTree SingleRotateWithLeft(PAVLNode k2)
{
PAVLNode k1;
k1 = k2->l;
k2->l = k1->r;
k1->r = k2;
k2->h = MAX( Height( k2->l ), Height( k2->r ) ) + 1;
k1->h = MAX( Height( k1->l ), k2->h ) + 1;
return k1; /* New root */
}
情况4：对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
左边为调整前得节点，我们可以看出k1的左右子树已不再满足AVL平衡条件，调整后的为右图。
我们可以看出，解决办法是将z上移一层，并将x下移一层，由于在原树中k2 > k1，所以k1成为k2的左子树，而y是大于k1的，所以成为k1的右子树。
为了设计算法，我们这里来看一个更易理解的：插入的是节点“6”
算法设计：由于是情形1对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入，该节点为“4”，我们同第一种情形类似。
实现代码：
//情形4
AVLTree SingleRotateWithRight(PAVLNode k1)
{
PAVLNode k2;
k2 = k1->r;
k1->r = k2->l;
k2->l = k1;
k1->h = MAX( Height( k1->l ), Height( k1->r ) ) + 1;
k2->h = MAX( Height( k2->r ), k1->h ) + 1;
return k2; /* New root */
}
1.3．2 双旋转
情况2：对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
这种情况是单旋转调整不回来的，如下图：
图（1）
左--右双旋转如下：
图（2）
这里我们将图（1）的Y子树看成如图（2），以k2为子树根节点的树，我们将其子树分成比D低
，这里我我先对k3的左子树进行一次情形四的右旋转，然后在进行一次情形1的左旋转，详细步骤如下：(红色框里面的即是要进行单旋转的)
实现代码：
//情形2
AVLTree DoubleRotateWithLeft( PAVLNode k3 )
{
/* Rotate between K1 and K2 */
k3->l = SingleRotateWithRight( k3->l );
/* Rotate between K3 and K2 */
return SingleRotateWithLeft(k3);
}
情况3：对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
右—左双旋转如下：
我们先对k1的右子树进行一次左旋转（情形1，然后再对k1进行一次右旋转（情形4）。
实现代码：
//情形3
AVLTree DoubleRotateWithRight( PAVLNode k1 )
{
/* Rotate between K3 and K2 */
k1->r = SingleRotateWithLeft( k1->r );
/* Rotate between K1 and K2 */
return SingleRotateWithRight( k1 );
}
1.3 插入操作
插入的核心思路是通过递归找到合适的位置，插入新结点，然后看新结点是否平衡（平衡因子是否为2），如果不平衡的话，就分成三种大情况以及两种小情况：
1. 在结点的左儿子(X < T->item)
o 在左儿子的左子树 (X < T->l-> item)，“外边”，要做单旋转。
o 在左儿子的右子树 (X > T->l-> item)，“内部”，要做双旋转。
2. 在结点的右儿子(X > T->item)
o 在右儿子的左子树(X < T->r-> item)，“内部”，要做双旋转。
o 在右儿子的右子树(X > T->r-> item)，“外边”，要做单旋转。
3. (X == T->item) ，对该节点的计数进行更新。
当进行了旋转之后，必定会有结点的“父结点”是需要更新的，例如：
2
/
1 4
/
3 5
6
上图是调整前的，下图是调整后的：
4
/
2 5
/
1 3 6
可以看出，根结点2不平衡，是由于它的右儿子的右子树插入了新的结点6造成的。因此，这属于“外边”的情况，要进行一次单旋转。于是我们就把结点4调整上来作为根结点，再把结点2作为4的左儿子，最后把结点2的右儿子修改为原来的结点4的左儿子。
实现代码：
AVLTree Insert(Item X, AVLTree T )
{
if( T == NULL )
{
/* Create and return a one-node tree */
T = (PAVLNode)malloc( sizeof(AVLNode ) );
if( T == NULL )
perror("malloc failed");
else
{
T->item = X;
T->h = 0;
T->l = T->r = NULL;
T->count = 1;
}
}
else if(compare(&X,&T->item) == -1)//插入情况1
{
T->l = Insert( X, T->l );
if( Height( T->l ) - Height( T->r ) == 2 )
if(compare(&X, &T->l->item ) == -1)//左边左子树 单旋转
T = SingleRotateWithLeft( T );
else
T = DoubleRotateWithLeft( T );//左边右子树
}
else if( compare(&X,&T->item) == 1 ) //插入情况2
{
T->r = Insert( X, T->r );
if( Height( T->r ) - Height( T->l ) == 2 )
if(compare(&X , &T->r->item) == 1)//右边右子树 单旋转
T = SingleRotateWithRight( T );
else
T = DoubleRotateWithRight( T );//右边左子树
}
else//插入情况3
T->count++;
/* Else X is in the tree already; we'll do nothing */
T->h = MAX( Height( T->l ), Height( T->r ) ) + 1;
return T;
}