UVa11054 Gergovia的酒交易(数学归纳法)

直线上有(n)个等距村庄，每个村庄要么买酒，要么卖酒。设第(i)个村庄对酒的需求为(A_i)((-1000 leqslant A_i leqslant 1000))，其中(A_i>0)表示买酒，(A_i<0)表示卖酒。所有村庄供需平衡，即所有(A_i)之和等于0。
把(k)个单位的酒运到相邻村庄去需要(k)个单位的劳动力，问最少需要多少劳动力才能满足所有的村庄的要求。输出保证在64位带符号整数范围内。

输入输出样例

输入

5
5 -4 1 -3 1
6
-1000 -1000 -1000 1000 1000 1000
0

输出

9
9000

题解

这题可以采用数学归纳法的角度进行思考，
首先，我们先看基准情形，第(1)个村庄对酒的需求为(A_i)(可能需要买，可能需要卖)。那么，不管是买酒还是卖酒，都需要第(1)个村庄和第(2 sim n)个村庄之间存在大小为(|A_i|)的酒搬运(可能酒交易的双方并不是第(1)个村庄和第(2)个村庄，但是必须经由这两个村庄)。
接下来我们开始归纳，我们设(last_i = sum_{j=1}^{j=i}A_j)表示第(1 sim i)个村庄对酒的总需求（可能需要买，可能需要卖）。那么，不管是买酒还是卖酒，都需要第(i)个村庄和第(i+1)个村庄之间存在大小为(|last_i|)的酒搬运(可能部分酒交易的双方并不是第(i+1)和(i)个村庄，但是必须经由这两个村庄)。我们用(ans_i)表示第(1 sim i)个村庄需要的总搬运需求。
综上，(ans_i)的递推关系式可以表述如下：

[egin{equation} ans_i = left{ egin{matrix} |A_i| , quad i = 1 \ ans_{i - 1} + |last_i|, quad 1 leqslant i leqslant n end{matrix} ight. end{equation} ]

如果你觉得以上的数学式子还是过于抽象，那么可以继续看下面代入值计算的例子。我们设村庄数量为(n=4)，村庄(1 sim 4)的酒需求分别是(-3, +4, -5, +4)，那么我们模拟算法的过程如下图所示：

可以看到，最后求得的4个村庄的总共搬运劳动力(ans_4 = 8)。
我们再看村庄(1 sim 4)的酒需求分别是(+3, -4, +5, -4)的情况。由上面的推导可知，这种情况其实只是把每个村庄的买卖情况取反了，但最后的总搬运量不变。我们模拟算法的过程如下图所示：

可以看到，最后求得的4个村庄的总共搬运劳动力和上面的情况一样，仍然是(ans_4 = 8)。由此可得，我们的算法正确。算法的Python代码实现如下：

while True:
    n = int(input())
    if n == 0:
        break
    A = list(map(int, input().strip().split()))
    ans, last = 0, 0
    for i in range(n):
        last += A[i]
        ans += abs(last)
    print(ans)