题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1009
洛谷：https://www.luogu.com.cn/problem/P3193
Description
阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为
0
Input
第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000
Output
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.
Sample Input
4 3 100
111
111
Sample Output
81
emmmm。。。这题，不会。。。据说是矩阵加速DP配个KMP。。。
设$f[i][j]$为长串的第i个位置匹配短串的第j个为置，那么最终答案就是$ans=sum_{j=0}^{m-1}f[n][j]$
接下来就是状态转移方程了，由$f[i][j]->f[i+1][k]$那么k是不确定的，有可能失配，那么就变成$f[i+1][0]$了也有可能刚好是下一个即$f[i+1][j+1]$，当然也有可能是j之后失配掉落下来的。所以状态转移方程就出来了：
$f[i][j]=sum_{k=0}^{9}f[i-1][p]$ 表示为在短串中对于数字k失配到短串第j位的数量总和。
那么怎么求数字k失配到短串中第j位的数量呢？其实讲到失配的话我们很容易想到KMP算法的next数组，求出next数组后我们对每一个数字（即0到9走一遍）：
get_fail(m,s); for (int i=0; i<m; i++) for (char ch='0'; ch<='9'; ch++){ int j=i; while (j && s[j+1]!=ch) j=nx[j]; if (s[j+1]==ch) j++; g[i][j]++;//从第i位跳到第j位有多少个数字 }
把方程整理一下得：$f[i][j]=sum_{k=0}^{m-1}f[i-1][k]*g[k][j] $
然后考虑一下n实在太大了，即使是线性的复杂度也过不了，所以对这种有点递推意味的式子我们考虑用矩阵快速幂加速一下
我们认真观察一下就好发现，$f[0][0]=1$，我们将第二维压缩合并一下以F[i]代替，g[][]由于是固定的，我们用G代替，那么根据上式可得$F[1]=G，F[2]=F[1] imes G...$
即：$F[n]=G^{n}$
然后跑个矩阵快速幂，将最终答案乘以$F[0]$那么最终的答案就是：$ans=sum_{i=0}^{m-1}f[][i]$
以下是没有加速的代码（洛谷上40分）：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int mac=1e6+10; char s[50]; int nx[50],g[50][50],f[mac][30]; void get_fail(int n,char *s) { int j=0; for (int i=2; i<n; i++){ while (j && s[j+1]!=s[i]) j=nx[j]; if (s[j+1]==s[i]) j++; nx[i]=j; } } int main() { int n,m,mod; scanf ("%d%d%d",&n,&m,&mod); scanf ("%s",s+1); get_fail(m,s); for (int i=0; i<m; i++) for (char ch='0'; ch<='9'; ch++){ int j=i; while (j && s[j+1]!=ch) j=nx[j]; if (s[j+1]==ch) j++; g[i][j]++;//从第i位跳到第j位有多少个数字 } f[0][0]=1; for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=0; j<m; j++) for (int k=0; k<m; k++) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k]*g[k][j]%mod)%mod; //f[i][j]表示第i位匹配到第j位的短串 int ans=0; for (int i=0; i<m; i++) ans=(ans+f[n][i])%mod; printf("%d ",ans); return 0; }
以下是AC代码：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int mac=1e6+10; char s[50]; int nx[50],m; struct Mat { int a[30][30]; Mat(){memset(a,0,sizeof a);} }g,f; void get_fail(int n,char *s) { int j=0; for (int i=2; i<n; i++){ while (j && s[j+1]!=s[i]) j=nx[j]; if (s[j+1]==s[i]) j++; nx[i]=j; } } Mat multi(Mat a,Mat b,int mod) { Mat ans; for (int i=0; i<m; i++) for (int j=0; j<m; j++) for (int k=0; k<m; k++){ ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod; } return ans; } Mat qick(Mat g,int n,int mod) { Mat ans; for (int i=0; i<=m; i++) ans.a[i][i]=1; while (n){ if (n&1) ans=multi(ans,g,mod); g=multi(g,g,mod); n>>=1; } return ans; } int main() { int n,mod; scanf ("%d%d%d",&n,&m,&mod); scanf ("%s",s+1); get_fail(m,s); for (int i=0; i<m; i++) for (char ch='0'; ch<='9'; ch++){ int j=i; while (j && s[j+1]!=ch) j=nx[j]; if (s[j+1]==ch) j++; g.a[i][j]++; } Mat ans=qick(g,n,mod); int sum=0; f.a[0][0]=1; f=multi(f,ans,mod); for (int i=0; i<m; i++) sum=(sum+f.a[0][i])%mod; printf("%d ", sum); return 0; }