• 洛谷 P3731 [HAOI2017]新型城市化【最大流(二分图匹配)+tarjan】


    我到底怎么建的图为啥要开这么大的数组啊?!
    神题神题,本来以为图论出不出什么花来了。
    首先要理解‘团’的概念,简单来说就是无向图的一个完全子图,相关概念详见度娘。
    所以关于团一般都是NP问题,只有二分图例外。而题目中有这样一句话“n座城市可以恰好被划分为不超过两个城市群”,并且给出的是没有的边,也就是这个图的补图,两个团就很显然表示这个补图是个二分图(我一开始还考虑1个团咋整后来发现根本不用整= =),模型就变成了二分图的最大独立集,考虑最大独立集=n-最大匹配,那么只要求出删掉哪些边会让最大匹配减少,也就是哪些边一定在最大匹配里即可。
    先看一下大概步骤:
    1.黑白染色,建出二分图(在这里用dinic求最大匹配因为懒得重建图这样tarjan直接按着满流边跑即可
    2.dinic
    3.顺着满流边用tarjan求scc
    4.把两端不在同一个强连通分量里、两端不是s或t、满流的边加进ans数组里,排个序输出
    为什么要这样做呢?
    首先没满流的边一定不在最大匹配里就不说了。
    然后对于两端能缩到一个scc里的边,一个点的一入一出都可能与它匹配,所以不一定在最大匹配里。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<queue>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N=1000005,inf=1e9;
    int n,m,h[N],cnt,c[N],s,t,le[N],dfn[N],low[N],tot,st[N],top,bl[N],con,co,x[N],y[N];
    bool v[N];
    struct qwe
    {
    	int ne,no,to,va;
    }e[N*20];
    struct qw
    {
    	int x,y;
    	qw(const int X=0,const int Y=0)
    	{
    		x=X,y=Y;
    		if(x>y)
    			swap(x,y);
    	}
    }ans[N];
    bool cmp(const qw &a,const qw &b)
    {
    	return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
    }
    int read()
    {
    	int r=0,f=1;
    	char p=getchar();
    	while(p>'9'||p<'0')
    	{
    		if(p=='-')
    			f=-1;
    		p=getchar();
    	}
    	while(p>='0'&&p<='9')
    	{
    		r=r*10+p-48;
    		p=getchar();
    	}
    	return r*f;
    }
    void add(int u,int v,int w)
    {
    	cnt++;
    	e[cnt].ne=h[u];
    	e[cnt].no=u;
    	e[cnt].to=v;
    	e[cnt].va=w;
    	h[u]=cnt;
    }
    void ins(int u,int v,int w)
    {//cout<<u<<" "<<v<<endl;
    	add(u,v,w);
    	add(v,u,0);
    }
    void dfss(int u,int col)
    {
    	c[u]=col;
    	v[u]=1;
    	for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
    		if(!v[e[i].to])
    			dfss(e[i].to,col^1);
    }
    bool bfs()
    {
    	queue<int>q;
    	memset(le,0,sizeof(le));
    	le[s]=1;
    	q.push(s);
    	while(!q.empty())
    	{
    		int u=q.front();
    		q.pop();
    		for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
    			if(e[i].va>0&&!le[e[i].to])
    			{
    				le[e[i].to]=le[u]+1;
    				q.push(e[i].to);
    			}
    	}
    	return le[t];
    }
    int dfs(int u,int f)
    {//cout<<u<<" "<<f<<endl;
    	if(!f||u==t)
    		return f;
    	int us=0;
    	for(int i=h[u];i&&us<f;i=e[i].ne)
    		if(le[e[i].to]==le[u]+1&&e[i].va>0)
    		{
    			int t=dfs(e[i].to,min(e[i].va,f-us));
    			e[i].va-=t;
    			e[i^1].va+=t;
    			us+=t;
    		}
    	if(!us)
    		le[u]=0;
    	return us;
    }
    void dinic()
    {
    	while(bfs())
    		dfs(s,inf);
    }
    void tarjan(int u)
    {
    	dfn[u]=low[u]=++tot;
    	v[st[++top]=u]=1;
    	for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
    		if(!e[i].va)
    		{
    			if(!dfn[e[i].to])
    			{
    				tarjan(e[i].to);
    				low[u]=min(low[u],low[e[i].to]);
    			}
    			else if(v[e[i].to])
    				low[u]=min(low[u],dfn[e[i].to]);
    		}
    	if(dfn[u]==low[u])
    	{
    		con++;
    		while(st[top]!=u)
    		{
    			bl[st[top]]=con;
    			v[st[top--]]=0;
    		}
    		bl[st[top]]=con;
    		v[st[top--]]=0;
    	}
    }
    int main()
    {
    	n=read(),m=read();
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		x[i]=read(),y[i]=read();
    		add(x[i],y[i],0);add(y[i],x[i],1);
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		if(!v[i])
    			dfss(i,2);
    	memset(h,0,sizeof(h));
    	cnt=1;	
    	s=0,t=n+1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		if(c[i]==2)
    			ins(s,i,1);
    		else
    			ins(i,t,1);
    	}
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		if(c[x[i]]==2)
    			ins(x[i],y[i],1);
    		else
    			ins(y[i],x[i],1);
    	}//cout<<"OKBUILD"<<endl;
    	dinic();//cout<<"OKDINIC"<<endl;
    	memset(v,0,sizeof(v));
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		if(!dfn[i])
    			tarjan(i);
    	for(int i=2;i<=cnt;i+=2)
    		if(!e[i].va&&bl[e[i].no]!=bl[e[i].to]&&e[i].no!=s&&e[i].no!=t&&e[i].to!=s&&e[i].to!=t)
    			ans[++co]=qw(e[i].no,e[i].to);
    	sort(ans+1,ans+1+co,cmp);
    	printf("%d
    ",co);
    	for(int i=1;i<=co;i++)
    		printf("%d %d
    ",ans[i].x,ans[i].y);
    	return 0;
    }
    
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