积性函数

莫比乌斯反演的前置知识

定义

如果一个数论函数(f)满足：当(nperp m)时，有

[f(nm) =f(n)f(m) ]

则称其为积性函数

当不需要满足互质条件((nperp m))就能满足(f(nm) = f(n)f(m))时，称其为完全积性函数

若(f)是积性函数，且(n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}…p_s^{alpha_s})是(n)的标准分解，则有

[f(n)=f(p_1^{alpha_1})f(p_2^{alpha_2})…f(p_s^{alpha_s}) ]

因此研究积性函数(f)可以转化为研究(f(p^{alpha}))，即(f)在素数和素数的幂上的取值。

积性函数求值

设(f)是积性函数，为求(f(n))，可以对(n)分解素因子，然后计算所有的(f(p^{alpha}))乘起来，因此积性函数求值都可以用线性筛来求

如果要对(1)到(n)之间的所有数求出(f)，注意到( ext{Euler})筛法的过程中可以求出每个数的最小素因子和最小素因子的幂次，利用此就能在线性时间内计算出所需的(f)的值

欧拉筛如何求出最小素因子的幂次

void sieve() {
    ip[0] = ip[1] = 1;
    alpha[1] = 0;
    for (int i = 2; i < XR; i++) {
        if (!ip[i]) p[c++] = i, alpha[i] = 1, p1[i] = i;
        for (int j = 0; j < c && i * p[j] < XR; j++) {
            ip[i * p[j]] = 1;
            p1[i * p[j]] = p[j];
            if (i % p[j]) alpha[i * p[j]] = 1;
            else {
                alpha[i * p[j]] = alpha[i] + 1;
                break;
            }
        }
        //最小素因子：p1[i] ^ alpha[i]
    }
}

常见积性函数

单位函数

单位函数(epsilon(n))定义为

[epsilon(n)=[n=1]=left{ egin{aligned} 1, & n=1 \ 0, & n eq 1 end{aligned} ight.]

其中([ ext{condition}])表示当( ext{condition})为真时取值为(1)，否则为(0)的函数。

除数函数

除数函数(sigma_{k}(n))用来表示(n)的因子的(k)次方之和：

[sigma_{k}(n)=sum_{d|n}d^{k} ]

约数个数(sigma_{0}(n))常记为(d(n))，约数和(sigma_{1}(n))常记为(sigma(n))。

可以证明除数函数都是积性函数。

证明

每个素因子对函数的贡献都是独立的，它们之间的贡献可以用乘积来衡量，举一个例子：要算(n)的约数个数（即(d(n))），就要枚举(n)的约数(d)，考虑(n)的标准分解，也就是(n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}…p_s^{alpha_s}),可以想象出(d)的素因子也跑不出这些个素因子，只不过上面的指数不一样，假设是(smalleta)，那么也就是(d=p_1^{eta_1}p_2^{eta_2}…p_s^{eta_s})，(eta_1)显然是要在(0)到(alpha_1)之间，否则(d)就不是(n)的约数了，同理每个(eta)都是对应的每个(0)到(alpha)之间的，那么(eta_1)有(0)到(alpha_1)共(alpha_1+1)种取值，每个(eta)的选取是独立的，所以他们的贡献的乘积就是((1+alpha_1)*(1+alpha_2)*…*(1+alpha_s))，这就是(sigma_0)的算法，其他的(sigma_k)是一样的，只不过((1 + alpha))这一步要换成一个求和的形式。

素因子贡献独立是一个常见的思路。

Euler函数（欧拉函数）

( ext{Euler})函数(varphi(n))表示不超过(n)且与(n)互质的正整数的个数，即

[varphi(n)=sumlimits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1] ]

比如说(varphi(6)=2)，两个数是(1,5)；(varphi(10)=4)，四个数分别为(1,3,5,7)。

由(n)的标准分解并结合容斥原理，我们可以得到欧拉函数的显示表达式：

[varphi(n)=n·prod_{i=1}^{s}(1-frac{1}{p_i}) ]

其中(p_i)是质数，(n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}…p_s^{alpha_s})是(n)的标准分解。

性质

对于任(n)，( ext{Euler})函数具有如下性质：

[n=sum_{d|n}varphi(d) ]

要证明这个等式，我们将(1)到(n)中的所有整数按与(n)的最大公约数分类。

若(gcd(n,i)=d)，那么(gcd(frac{n}{d},frac{d}{i})=1)。而又(frac{i}{d})是不超过(frac{n}{d})的整数，故这样的(i)有(varphi(frac{n}{d}))个。

考虑所有(d|n)，我们就考虑到了所有(1)到(n)之间的(n)个整数，因此有

[n=sum_{d|n}varphi(frac{n}{d})=sum_{d|n}varphi(d) ]

证明积性

以下是从大佬那里淘来的证明

同样的，(tperp nmLeftrightarrow tperp n,tperp mLeftrightarrow(tmod n)perp n,(tmod m)perp m)，所以每个 ([1, nm])之间的与(nm)互质的数(t)都可以对应到一个([1,n])的与(n)互质的数 (tmod n)和一个([1,m])的与(m)互质的数(tmod m)。

并且根据中国剩余定理，这种对应是一一对应的（即已知 (aperp n, bperp m)后可以唯一确定一个([1,nm])之间的(t)使得(tmod n=a, tmod m=b)，且(tperp nm)）。因此 (varphi(nm)=varphi(n)varphi(m)) 。

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然而我看不懂……还是从定义上来证明吧！

假设有两个互质的正整数(n,m)，则

[varphi(n)=nprod(1-frac{1}{p_i}) ]

[varphi(m)=mprod(1-frac{1}{p_{i'}}) ]

[varphi(n)varphi(m)=nprod(1-frac1{p_i})mprod(1-frac1{p_{i'}})=nmprod(1-frac1{p_i})prod(1-frac1{p_{i'}}) ]

因为(n,m)互质，所以(p_i)和(p_{i'})各各都不相同，且都是(nm)的质因子

因此就可以推出(varphi(nm)=varphi(n)varphi(m))

至此，积性函数的性质得证。但是由上面的证明可知，(n,m)必须要互质才可以满足欧拉函数是积性函数，由此可见欧拉函数不是完全积性函数

恒等函数

(mathbf{id}^k=n^k),(mathbf{id}(n)=n)

（就酱紫一笔带过吧……）

性质

若(mathbf{f}(x))和(g(x))均为积性函数，则以下函数也为积性函数

[egin{aligned} h(x)&=f(x^p)\ h(x)&=f^p(x)\ h(x)&=f(x)g(x)\ h(x)&=sum_{dmid x}f(d)g(frac{x}{d}) end{aligned} ]

部分性质的证明

来自铃悬的数学讲堂（抄这个东西也很累……）

两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数

考虑到上面的性质，即“若(nperp m)则每个(nm)的约数都可以分解成一个(n)的约数和一个(m)的约数的积”，并且有另一个性质：若(nperp m,amid n,bmid m)则(aperp b)。

于是若(nperp m)，我们就有

[egin{aligned}t(nm)&=sum_{dmid nm}f(d)gleft(frac{nm}d ight)\&=sum_{amid n,bmid m}f(ab)gleft(frac{nm}{ab} ight)\&=sum_{amid n,bmid m}f(a)f(b)gleft(frac na ight)gleft(frac mb ight)\&=left(sum_{amid n}f(a)gleft(frac na ight) ight)left(sum_{bmid m}f(b)gleft(frac mb ight) ight)\&=t(n)t(m)end{aligned} ]

积性函数的逆是积性函数

第二个重要的结论：积性函数的逆是积性函数。
对于一个积性函数 (f) ，如何证明其逆 (g(n)=[n=1]-sum_{imid n,i eq1}f(i)gleft(frac ni ight)) （注意，积性函数一定满足 (f(1)=1) ，因为 (f(1)=f(1)f(1)) ，并且如果 (f(1)=0) 则 (f(n)equiv0) ，这种情况我们不考虑）也满足积性呢？
对 (nm) 的大小进行归纳：

(nm=1) 时， (g(1)=1) ，结论显然成立；

假设 (nm > 1) ，当 (n'm'< nm) 的时候有 (g(n'm')=g(n')g(m')) ，

[egin{aligned}g(nm)&=-sum_{dmid nm,d eq1}f(d)gleft(frac{nm}d ight)\&=-sum_{amid n,bmid m,ab eq1}f(ab)gleft(frac{nm}{ab} ight)\&=-sum_{amid n,bmid m,ab eq1}f(a)f(b)gleft(frac na ight)gleft(frac mb ight)\&=f(1)f(1)g(n)g(m)-sum_{amid n,bmid m}f(a)f(b)gleft(frac na ight)gleft(frac mb ight)\&=g(n)g(m)-left(sum_{amid n}f(a)gleft(frac na ight) ight)left(sum_{bmid m}f(b)gleft(frac mb ight) ight)\&=g(n)g(m)-epsilon(n)epsilon(m)\&=g(n)g(m)end{aligned} ]

注意前面几步把 (g(frac{nm}{ab})) 拆成 (g(n/a)g(m/b)) 的时候 (frac{nm}{ab}<nm) ，可以运用归纳条件。
最后一步是因为 (nm>1) 所以 (n,m) 之间至少一个不为 (1) ，则 (epsilon(n)epsilon(m)=[n=1][m=1]=0) 。

就酱紫吧