洛谷 P1226 【模板】快速幂||取余运算
题目链接
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1226
题目描述
输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。
输入输出格式
输入格式：
三个整数b,p,k.
输出格式：
输出“b^p mod k=s”
s为运算结果
输入输出样例
输入样例#1：
2 10 9
输出样例#1：
2^10 mod 9=7
这道题有各种各样的做法，来整理一下几种思路吧
做法1（来自一本通）
思路
1.本题主要的难点在于数据规模很大（b，p都是长整型数），对于(b^p)显然不能死算，那样的话时间复杂度和编程复杂度都很大。
2.下面先介绍一个原理：A*B%K = (A%K )*(B% K )%K。显然有了这个原理，就可以把较大的幂分解成较小的，因而免去高精度计算等复杂过程。那么怎样分解最有效呢？
3.显然对于任何一个自然数P，有P=2 * P/2 + P%2，如19=2 * 19/2 + 19%2=2*9+1，利用上述原理就可以把B的19次方除以K的余数转换为求B的9次方除以K的余数，即B19=B2*9+1=B*B9*B9，再进一步分解下去就不难求得整个问题的解。
(额外提一点，最后输出的时候也不要忘记再取模一下，因为没取模我WA了一个点)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long b,p,k,a;
long long f(long long p){
if(p==0)return 1;
long long tmp=f(p/2)%k;
tmp=(tmp*tmp)%k;
if(p%2==1)tmp=(tmp*b)%k;
return tmp;
}
int main(){
scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k);
long long tmpb=b;
b%=k;
printf("%lld^%lld mod %lld=%lld
",tmpb,p,k,f(p)%k);
return 0;
}
做法二
思路
首先要知道，余数是有规律的，除以任何数都是这样
拿样例来说吧，
b=2,p=10,k=9
2^1=2 2%9=2
2^2=4 4%9=4
2^3=8 8%9=8
2^4=16 16%9=7
2^5=32 32%9=5
2^6=64 64%9=1
2^7=128 128%9=2
我们会发现，余数到2^7的时候就已经跟2^1重复了 每一个数都是一样的
将重复的次数算出，最后在重算一次，就可以找到答案
注意：
1.不能用数组存余数，空间承受不起
2.一边乘一边除，否则会死得很惨
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long long b,p,k,s,t;
int main()
{
cin>>b>>p>>k;
cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"=";
s=b%k;
t=1;
for (int i=2;i<=p;i++)
{
s=s*b%k;
if (s==b%k) break;
t++;
}
p=p%t;s=1;
if (p==0) p=t;
for (int i=1;i<=p;i++)
s=s*b%k;
cout<<s;
return 0;
}
（来自洛谷）
做法三
思路
直接使用常规的快速幂算法
所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int power(int b,int p,int k);
int b,p,k;
signed main() {
cin>>b>>p>>k;
int www=p;
cout<<b<<"^"<<www<<" mod "<<k<<"="<<power(b,p,k)%k;
}
int power(int b,int p,int k) {
int ans=1;
b%=k;
while(p) {
if(p&1)
ans=(ans*b)%k;
p>>=1;
b=(b*b)%k;
}
return ans;
}