• 博弈论(1)SG定理


    用于把多堆问题简化成每个单堆问题的异或和

     

    Sprague-Grundy定理(SG定理):

            游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。

    SG函数:

            首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

            对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

      即,该状态的SG值 = mex{ 后继状态的SG值 }

     

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3980

     

    用SG数组记录每个状态的SG值,f数组用来进行mex{}的计算

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<string.h>
    #include<map>
    #include<queue>
    #include<set>
    #include<cmath>
    #include<stack>
    #include<vector>
    #include<iostream> 
    #define MAXN 1000005
    #define PI acos(-1.0)
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    int SG[1005],f[1005];
    int getsg(int n,int m)
    {
    	SG[0]=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++)//从1开始,逆推出n的SG值 
    	{	SG[i]=0;
    		if(i<m) continue;
    		memset(f,0,sizeof(f));
    		for(int j=m;j<=i;j++)//枚举后继状态 
    		{
    			
    			f[SG[j-m]^SG[i-j]]=1;
    			
    		}
    		for(int k=0;;k++)//mex计算 
    		{
    			if(!f[k])
    			{
    			SG[i]=k;
    			
    			break;	
    			}
    		}
    		
    	}
    	return SG[n];
    }
    int main()
    {	int T,d=1;
    	scanf("%d",&T);
    	while(T--)
    	{
    		int n,m;
    		scanf("%d%d",&n,&m);
    		if(n<m) {
    			printf("Case #%d: abcdxyzk
    ",d++);
    			continue;
    		}
    		n-=m;
    		int x=getsg(n,m);
    		if(x) printf("Case #%d: abcdxyzk
    ",d++);
    		else printf("Case #%d: aekdycoin
    ",d++);
    	}
    	
    	
    	
    	
    	return 0;
    } 
    

      

     

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