中国剩余定理的应用

设n>=2,m₁,m₂,....m_n，是两两互质的正整数，记 M = ∏m_i, M_i = M/m_i.

则同余方程组

　　　　　　X≡a₁（mod m₁）

                 X≡a₂ (mod m₂)

　　　　　　X≡a_n (mod m_n)

有对模M的唯一解

　　　　　　X≡∑a_iM_iM_i’(mod M)

上述就是中国剩余定理

下面给出求此类同余方程组最小非负整数解的代码 LL 代表 long long

LL China(LL r)
{
    LL M = 2;
    LL i,Mi,x0,y0,d,ans = 0;
    for(i=1;i<=r;i++){
        M *= m[i];
    }
    for(i=1;i,=r;i++){
        Mi = M/m[i];
        ex_gcd(Mi,m[i],x0,y0);
        ans = (ans+Mi*x0*a[i])%M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

然后以poj1006 这个题目来练一下手 链接 http://poj.org/problem?id=1006

根据题意可以得到同余方程组    X≡p（mod 23）

　　　　　　　　　　　　　　 X≡e（mod 28）

　　　　　　　　　　　　　　 X≡i（mod 33）

注意到 23 28 33是两两互质整数，满足中国剩余定理的使用条件，根据上面给出的代码容易解决，题目所求得解释大于d的最小整数解

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int maxn = 1000005;

typedef long long LL;

LL a[20],m[8],M;

LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
   if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
   }
   LL r = ex_gcd(b,a%b,x,y);
   LL t = x;
      x = y;
      y = t - a/b*y;
      return r;
}
LL China(LL r)
{
     M = 1;
    LL i,Mi,x0,y0,d,ans = 0;
    for(i=1;i<=r;i++){
        M *= m[i];
    }
    for(i=1;i<=r;i++){
        Mi = M/m[i];
        ex_gcd(Mi,m[i],x0,y0);
        ans = (ans+Mi*x0*a[i])%M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

int main()
{
    int cas = 0;
    LL p,e,i,d,temp;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&p,&e,&i,&d)!=EOF){
        cas++;
        if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1) break;
        a[1] = p;
        a[2] = e;
        a[3] = i;
        m[1] = 23;
        m[2] = 28;
        m[3] = 33;
        LL r = 3;
        LL ans = China(r);
        while(ans <= d) ans += M;
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %lld days.
",cas,ans-d);
     }


    return 0;
}