• [简单思维题]2的幂数


    题目描述

    小明开始学习二进制转化到十进制,其中要用到2的幂(2的3次幂就是3个2相乘),他觉得这个很有意思。既然通过2的幂相加可以得到十位数,那么反过来,一个十进制数是否可以通过若干个2的幂相加得到呢?
    小明开始研究起来,他先列出了所有2的幂:1,2,4,8,16,32,64……。
    4=1+1+1+1
    4=1+1+2
    4=2+2
    4=4                 4共有4种方法
    7=1+1+1+1+1+1+1
    7=1+1+1+1+1+2
    7= 1+1+1+2+2
    7=1+1+1+4
    7=1+2+2+2
    7= 1+2+4       
    共有6种方法。1+2+4和2+1+4认为是同一个等式,因为它们的组成相同。
    现在小明想要知道,给出一个十进制数,可以写出多少种,用若干个2的幂数相加的式子。
     

    输入

    第一行包含1个正整数n, 1<=n<=1000。

    输出

    共1行,n能用2的幂数相加的不同式子的种数。

    样例输入

    7
    

    样例输出

    6

    这是一道简单思维题。
    通过手算我们可以发现规律:(这里f[n]表示“n能用2的幂数相加的不同式子的种数”)

    思路:
    1.如果n是奇数,则f[n]=f[n-1](一定要分个1出来,所以它的结果就等于偶数n-1的结果)
    2.如果n是偶数,则考虑将它拆分为带1和不带1两种情况:
    (1)带1:这种情况下种数为f[n-1](也就是奇数n-1的结果)
    (2)不带1:这种情况下种数为f[n/2](很巧妙,分出来不带1的情况下肯定分出来的数每个都是偶数,这种情况下的种数可以等价于n/2的种数,因为把分出来的数都除以2不就是n/2分出来的数吗?)
    综上:有递推公式:n为奇时,f[n]=f[n-1];
    n为偶时,f[n]=f[n-1]+f[n/2];
    此外,还要注意n==1时,直接初始化f[1]=1;

    AC代码:
    #include<cstdio>
    int f[1010]; int main(){ int n; scanf("%d",&n); f[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(i%2!=0) f[i]=f[i-1]; else f[i]=f[i-1]+f[i/2]; } printf("%d ",f[n]); return 0; }

    总结:可以考虑利用小的已知结果的n递推求出大的n的结果,关键是要找出递推公式。



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