浅谈最长上升子序列（LIS）

一、瞎扯的内容

给一个长度为n的序列，求它的最长上升子序列（LIS）

简单的dp

n=read();
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<i;j++)
        if(a[j]<a[i])
               dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
printf("%d",dp[n]);

然后发现

看来需要一个nlogn求LIS的算法

二、不瞎扯的内容

上一个算法慢在哪里呢？内层的循环

如果把它变成二分查找不就是nlogn的算法了吗

为此需要进行一下改动

dp数组改为存储长度为i的上升子序列中最小的末尾数字

这样每当外层循环到了一个新的数字

若

a[i]>dp[len]//新的数字比当前LIS的末尾数字大

则

dp[++len]=a[i]//愉快地把这个数字接到后面

如果它小于等于dp[len]？

举个例子

序列2 3 1

i=1：找到2，当前LIS={2}，没毛病；

i=2：找到3，发现它比LIS的最后一个数字大，把它接到后面，当前LIS={2,3}；

i=3：找到1，发现它比3小，那么在当前的LIS中找到一个最小的比1大的数，也就是2，并把2替换成1，当前LIS={1,3}

Q1：为什么可以这么做呢？

我们现在把2替换成了1，如果接下来还能把3替换，我们就可以得到一个更优的LIS

为什么更优？首先LIS是保证尽可能长的，在此基础上，末尾数字越小越优

Q2：如何在当前的LIS中找到一个最小的比a[i]大的数？

根据“长度一定时，末尾数字越小结果越优”原则，dp数组一定是递增的

这个递增就不做证明了，应该比较好想

所以就可以用二分查找了

问题解决

for(i=1;i<=n;i++) dp[i]=0x7fffffff;
dp[1]=a[1];
    int len=1,l,r,mid;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>dp[len]) dp[++len]=a[i];
        else
        {
            l=0;r=len;
            while(l<=r)
            {
                mid=(l+r)>>1;
                if(dp[mid]>a[i]) r=mid-1;
                else l=mid+1;
            }
            dp[l]=min(dp[l],a[i]);
        }
        
    }

三、来道题

洛谷P1439

题目简述：给出两个1~n的序列，求他们的最长公共子序列（n≤100000）

这跟LIS有什么关系呢？

还真有关系

不妨改为在第二个序列中匹配第一个序列，最多匹配多少

由于两个序列都是1~n的，可将第一个序列重新定义一下

比如 3 2 1 4 5

3----1；2----2；1----3；4----4；5----5（对应到它是第几个）

那么第二个序列 1 2 3 4 5就会变成3 2 1 4 5

这时再求最长公共子序列的答案是一样的

然而可以发现第一个序列已经变成了1~n的升序排列，那么第二个序列的子序列 也是第一个序列的子序列的充要条件 是 它是一个上升的序列

那么问题就变成了求第二个序列的LIS

用上述方法可以解决

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

inline int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n;
int a[100005],b[100005],f[100005],g[100005];

int main()
{
    int i;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();
        g[a[i]]=i;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        b[i]=read();
        b[i]=g[b[i]];
        f[i]=0x7fffffff;
    }
    f[1]=b[1];
    int len=1,l,r,mid;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(b[i]>f[len]) f[++len]=b[i];
        else
        {
            l=0;r=len;
            while(l<=r)
            {
                mid=(l+r)>>1;
                if(f[mid]>b[i]) r=mid-1;
                else l=mid+1;
            }
            f[l]=min(f[l],b[i]);
        }
    }
    printf("%d
",len);
    return 0;
}

~祝大家学习信息学顺利~

BJOI 加油！