普通筛法时间界的证明

普通筛法时间界 O(nlnlnn) 的证明

定义

朴素素数筛法即是利用每一个素数筛出所有他的倍数。

证明

对于待筛选的最大数n，由于素数分布定理，其中的素数个数约等于 nlnn，第i个素数约为 ilni。则算法总的运行次数为：

∑i=1nlnnnilni=n∑i=1nlnn1ilni…(1)

(为了方便，计 ln1=1 )
考虑对

∑i=1nlnn1ilni…(2)

用积分估值。有：

∑i=1nlnn1ilni=O(∫nlnn21ilni di)…(3)

由微积分基本定理：

(3)=O(F(nlnn))…(4)F(x)=∫1ilni di=lnlni

因而：

(2)=(4)=O(lnlnnlnn)=O(lnlnn−lnlnlnn)=O(lnlnn)

所以：

(1)=O(nlnlnn)

证毕。