UOJ34 多项式乘法（NTT）

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题目链接：UOJ34

正解：$NTT$

解题报告：

　　$NTT$是用来解决需要取模的一类多项式乘法问题。

　　如果要用$NTT$的话，对模数$p$是有要求的：模数要能写成$c*2^k+1$的形式，而且$2^k>n$；

　　同时，模数必须要有原根，原根$g$满足的性质是：$g^1,g^2…g^{p-1}$是在模$p$意义下的一个$1$到$p-1$的一个排列。

　　回忆一下$FFT$的步骤，中间需要用到单位复数根$w_n$来实现点值表示法，在这里可以直接用$g$的次幂来代替单位复数根，即令$g_n=w_n$，那么$g_n$$=$$g^{frac{p-1}{n}}$。

　　其余的做法与$FFT$完全类似。

 

　　只是需要注意的是，$FFT$最后插值回去的时候，是取了个反，也就是加了个负号。

　　把单位复数根画出来，不难发现，是对称的，取了负号之后其实也就是颠倒了顺序，所以$NTT$的最后需要$reverse$一下。

　　注意$0$不用$reverse$，可以认为$0$就是对称轴所以无需考虑。

 

　　常用$NTT$模数：

　　$998244353$$=$$119*2^{23}+1$，原根为$3$；

　　$1004535809$$=$$479*2^{21}+1$，原根为$3$。

　　$4179340454199820288$$=$$29*2^{57}+1$，原根为$3$。

　　模板保存：

 

//It is made by ljh2000
//有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。
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#include <string>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;//119*2^23+1
const int MAXN = 300011;
const int G = 3;
int n,m,L,R[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];

inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline LL fast_pow(LL x,LL y){
	LL r=1;
	while(y>0) {
		if(y&1) r*=x,r%=mod;
		x*=x; x%=mod;
		y>>=1;
	}
	return r;
}

inline void NTT(int *a,int n,int f){
	for(int i=0;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1) {
		LL gn=fast_pow(G,(mod-1)/(i<<1)),x,t;
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) {
			LL g=1;
			for(int k=0;k<i;k++,g=1LL*g*gn%mod) {
				x=a[j+k]; t=1LL*a[j+i+k]*g%mod;
				a[j+k]=(x+t)%mod;
				a[j+i+k]=(x-t+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(f==1) return ;
	reverse(a+1,a+n); int ni=fast_pow(n,mod-2);
	for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1LL*a[i]*ni%mod;
}

inline void work(){
	n=getint(); m=getint(); 
	for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=getint();
	for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=getint();
	m+=n; for(n=1;n<=m;n<<=1) L++;
	for(int i=0;i<n;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1) | ((i&1) << (L-1));
	NTT(a,n,1); NTT(b,n,1);
	for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,n,-1);
	for(int i=0;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]);
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("NTT.in","r",stdin);
	freopen("NTT.out","w",stdout);
#endif
    work();
    return 0;
}
//有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。