BZOJ1096 [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

正解：DP+斜率优化

解题报告：

　　上午校内自测考我的题目，我就可以在机房里面刷题，嘿嘿嘿。

　　开始没看到只能往编号大的运输这个条件，结果一直没想出来朴素DP怎么写...

　　朴素的式子就是：$${f[i]=min(f[j]+Xi*{sum_{k=j+1}^{i}P[k]} - sum_{k=j+1}^{i}Xk*Pk } )+ Ci$$

　　这是n^2的做法，还是那句话，斜率优化的DP式子长得就是一副很可推的样子，不妨设$${Si=sum_{k=1}^{i}X[k]*P[k]}$$

　　$${SPi=sum_{k=1}^{i}P[k]}$$

　　那么式子变成了： $${f[i]=min(f[j]+Xi*(SPi-SPj)- (Si-Sj) )+ Ci}$$

　　假设存在k<j，且j的决策比k优，即

　　 $${ (f[j]+Xi*(SPi-SPj)- (Si-Sj) )+ Ci < (f[k]+Xi*(SPi-SPk)- (Si-Sk) )+ Ci }$$

　　化简可知：$${f[j]-f[k]+Sj-Sk < Xi*(SPj-SPk) }$$

　　把右边除过去，就会发现

　　$${ frac{f[j]-f[k]+Sj-Sk}{SPj-SPk} < Xi }$$

　　哇，这和昨天做的题目好像啊！这就是一个斜率式嘛

　　单调队列维护斜率单增的下凸包，发现队首不满足上式了就pop掉，队尾不满足同样pop。

 1 //It is made by ljh2000
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int inf = (1<<30);
16 const int MAXN = 1000011;
17 int n,head,tail;
18 int X[MAXN],P[MAXN],C[MAXN],dui[MAXN];
19 LL f[MAXN],s[MAXN],sp[MAXN];
20 
21 inline int getint()
22 {
23     int w=0,q=0; char c=getchar();
24     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
25     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
26 }
27 inline LL count(int x,int y){  return ( (f[x]-f[y])+(s[x]-s[y]) ) / (sp[x]-sp[y]) ; }
28 inline void work(){
29     n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) X[i]=getint(),P[i]=getint(),C[i]=getint(),s[i]=s[i-1]+(LL)X[i]*P[i],sp[i]=sp[i-1]+P[i];
30     dui[head=tail=1]=0; int from;
31     for(int i=1;i<=n;i++) {
32     while(head<tail && count(dui[head+1],dui[head])<X[i]) head++;
33     from=dui[head]; f[i]=(LL)f[from]+X[i]*(sp[i]-sp[from])-(s[i]-s[from])+C[i];
34     while(head<tail && count(dui[tail],dui[tail-1])>count(i,dui[tail])) tail--;
35     dui[++tail]=i;
36     }
37     printf("%lld",f[n]);
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     work();
43     return 0;
44 }