BZOJ1178 [Apio2009]CONVENTION会议中心

本文作者：ljh2000
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Description

Siruseri政府建造了一座新的会议中心。许多公司对租借会议中心的会堂很感兴趣，他们希望能够在里面举行会议。对于一个客户而言，仅当在开会时能够独自占用整个会堂，他才会租借会堂。会议中心的销售主管认为：最好的策略应该是将会堂租借给尽可能多的客户。显然，有可能存在不止一种满足要求的策略。例如下面的例子。总共有4个公司。他们对租借会堂发出了请求，并提出了他们所需占用会堂的起止日期（如下表所示）。开始日期结束日期公司1 4 9 公司2 9 11 公司3 13 19 公司4 10 17 上例中，最多将会堂租借给两家公司。租借策略分别是租给公司1和公司3，或是公司2和公司3，也可以是公司1和公司4。注意会议中心一天最多租借给一个公司，所以公司1和公司2不能同时租借会议中心，因为他们在第九天重合了。销售主管为了公平起见，决定按照如下的程序来确定选择何种租借策略：首先，将租借给客户数量最多的策略作为候选，将所有的公司按照他们发出请求的顺序编号。对于候选策略，将策略中的每家公司的编号按升序排列。最后，选出其中字典序最小1的候选策略作为最终的策略。例中，会堂最终将被租借给公司1和公司3：3个候选策略是{(1,3),(2,3),(1,4)}。而在字典序中(1,3)<(1,4)< (2,3)。你的任务是帮助销售主管确定应该将会堂租借给哪些公司。

Input

输入的第一行有一个整数N，表示发出租借会堂申请的公司的个数。第2到第N+1行每行有2个整数。第i+1行的整数表示第i家公司申请租借的起始和终止日期。对于每个公司的申请，起始日期为不小于1的整数，终止日期为不大于10^9的整数。N≤200000

Output

输出的第一行应有一个整数M，表示最多可以租借给多少家公司。第二行应列出M个数，表示最终将会堂租借给哪些公司。

Sample Input

4
4 9
9 11
13 19
10 17

Sample Output

2
1 3

正解：倍增+贪心

解题报告：　　

　　题目要求从若干个闭区间中取出尽可能多的区间，并且保证方案的字典序最小。

　　在只有第一问的情况下，这就是一道贪心的经典模型了。但是我们考虑如何保证我们选出来的方案字典序最小。显然我们可以发现一个问题，如果我们从第一个区间开始考虑，假设把它选了，没有使总数量减少，那么我们肯定可以选择它（通过字典序最小的原则很容易想通）。那么我们的任务就是如何快速的检查是否不会使得总数量减少，所以我们需要做的就是快速查询区间的最大放的数量（通过预处理实现）。

　　假设get_ans函数可以快速查询区间的最大放的数量，那么如果我想放入一个[l0,r0]的区间，那么需要满足get_ans(l,r)=get_ans(l,l0-1)+get_ans(r0+1,r)+1，这个式子很容易想通。l是离l0最近的上次插入的区间的右端点，r是离r0最近的上次插入的左端点。开始我还在想怎么维护选择区间之后，这个区间的数量变化情况，事实上我们并不关心怎么变，我们只知道它不会使得数量变化即可。也就是说，我只要知道我能影响的区间怎么变，外面的区间因为没有修改，所以肯定也不会变化，换而言之当前影响区间不变则整个区间的总数量就不会变。

　　那么我们需要预处理什么呢？首先我们需要在log n的时间内实现快速查询给定范围最大可以选取的区间数量。那么我们把区间重新排序，并且去掉互相包含的区间中较大的部分（显然可以知道这是可行的），这可以先按左端点排序，再用一个右端点单调递增的栈实现。之后对于每个保留下来的区间i，考虑用f[i][j]表示从第i个区间开始往后连续选取2^j个区间之后落在哪个区间上。这个预处理也很简单，n log n。这其实用的就是一个倍增的思想。所以对于每一次查询[l,r]，我可以找到[l,r]中的第一个区间，然后倍增的找区间，不断地往后跳并累加答案。通过上述操作可以实现查询操作。

　　另外，我们选取了一个区间之后可以用一个set维护一下我选取的区间的端点坐标，方便我快速查询最近的坐标。

　　整个题目细节比较多，实现起来稍显复杂，需要一点时间。

 1 //It is made by ljh2000
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int inf = (1<<30);
16 const int MAXN = 400011;
17 int n,cnt,end,ans;
18 int L[MAXN],nn;
19 bool pd[MAXN];
20 int f[MAXN][19];//f[i][j]表示第i个区间往后取2^j个可行的区间后的可以取到第几个区间
21 struct node{
22     int l,r;
23 }a[MAXN],b[MAXN];
24 set<int>S;
25 inline bool cmpl(node q,node qq){ if(q.l==qq.l) return q.r>qq.r; return q.l<qq.l; }
26 inline int getint()
27 {
28     int w=0,q=0; char c=getchar();
29     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
30     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
31 }
32 
33 inline void build(){
34     for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]; sort(b+1,b+n+1,cmpl);
35     cnt=0; b[++cnt]=b[1];
36     for(int i=2;i<=n;i++) {
37     while(b[i].r<=b[cnt].r && cnt>0) cnt--;       
38     b[++cnt]=b[i];
39     }
40     nn=0; for(int i=1;i<=cnt;i++) L[++nn]=b[i].l;
41     L[++nn]=inf; int xia; for(int i=0;i<=18;i++) f[cnt+1][i]=cnt+1;
42     for(int i=1;i<=cnt;i++) { xia=upper_bound(L+1,L+nn+1,b[i].r)-L; f[i][0]=xia; }
43     for(int j=1;j<=18;j++) for(int i=1;i<=cnt;i++) if(f[i][j-1] && f[f[i][j-1]][j-1]) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
44 }
45 
46 inline int get_ans(int l,int r){//得到区间[l,r]的可选区间的个数
47     if(l>r) return 0; if(l>end) return 0;//!!!
48     int daan=1,head,cc; head=lower_bound(L+1,L+nn+1,l)-L;
49     if(head>cnt) return 0;//!!!
50     if(b[head].r>r) return 0;
51     for(int i=18;i>=0;i--) {
52     if(f[head][i]==cnt+1) continue; if(f[head][i]==0) continue;
53     cc=b[f[head][i]].r; if(cc>r) continue;
54     head=f[head][i]; daan+=(1<<i);    
55     }    
56     return daan;
57 }
58 
59 inline void work(){
60     n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i].l=getint(),a[i].r=getint(),L[++cnt]=a[i].l,L[++cnt]=a[i].r;
61     sort(L+1,L+cnt+1); end=nn=unique(L+1,L+cnt+1)-L-1; 
62     for(int i=1;i<=n;i++) a[i].l=lower_bound(L+1,L+nn+1,a[i].l)-L,a[i].r=lower_bound(L+1,L+nn+1,a[i].r)-L;
63     build(); int now,nowl,nowr; ans=get_ans(1,end); printf("%d
",ans);
64     S.insert(-inf); S.insert(inf);  bool flag=false;
65     for(int i=1;i<=n;i++) {
66     now=*S.lower_bound(a[i].l);
67     if(now==inf || !pd[now]) {
68         if(now<=a[i].r) continue;
69         nowl=*--S.lower_bound(a[i].l); nowl++;
70         nowr=*S.lower_bound(a[i].r); nowr--;
71         now=get_ans(nowl,a[i].l-1)+get_ans(a[i].r+1,nowr)+1; 
72         if(now<get_ans(nowl,nowr)) continue;
73         S.insert(a[i].l); S.insert(a[i].r); if(a[i].l!=a[i].r) pd[a[i].r]=1;//!!!
74         if(flag) printf(" ");  printf("%d",i); flag=true;
75     }    
76     }
77 }
78 
79 int main()
80 {
81     work();
82     return 0;
83 }