/* 淀粉质真好吃！ */
P4178 Tree
这个题概括起来就是：
求树上两点路径小于等于K的条数
这是点分治的传统题：维护树上的路径。
点分治的精髓：就是不断的把一棵树拆成几棵子树来处理，并且考虑路径的合并。
分治点的选择 :树的重心！
为什么呢？假设树的形态是一条链，那么每次取链头的理论时间复杂度是O(n2)
而每次取中间的时间复杂度是O(n log2 n)此时中间就是树的重心，而一棵树可以看成无数的链拼接而成，
理应满足和链一样的性质，选重心的时候最优。可以达到近O(n log2 n)的复杂度。
怎么求树的重心：每次找到子树中的一个点它的儿子恰好多于子树根的size[]/2
（就是它底下的儿子恰好比子树元素的一半多一点点）
得出这样的递归代码：
int Get_Root(int u,int fath,int S) { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=S/2) return Get_Root(pos,u,S); return u; }
但是为了避免一些毒瘤题目卡树的重心，最好还是按照标准的来。
ps: 最大子树节点个数最少的点u就是重心，这样一个树形DP就行
void Get_Root(int u,int fath) { f[u]=0,size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Root(v,u); f[u]=max(f[u],size[v]); size[u]+=size[v]; } f[u]=max(f[u],SIZE-size[u]); if (f[u]<f[root]) root=u; }
记得一开始f[0]=正无穷
然而点分治是怎么实现的呢？
先给出一个代码：
void solve(int u) { ans=ans+Get_Ans(u,0); use[u]=true; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; ans=ans-Get_Ans(v,a[i].w); int rt=Get_Root(v,u,size[v]); solve(rt); } }
ans指的是一个答案，use代表这个点之前有没有计算过（一旦这个点被记做重心，那么这个点就被用了）。
一开始加的这个ans指的是求解过u点的贡献。然后标记u的use是true
然后找一个子树，容斥原理除去非法答案
这里需要着重注意!!!
A为重心，当前分治到A点。
那么我们Get_Ans出来的答案应该是这么几条路径：
A
A-B
A-B-C
A-B-D
A-E
A-E-F
然而我们发现这样三条路径相互叠加是没有跨越A点的！
A-B
A-B-C
A-B-D
所以这三条路径相互叠加的我们需要减去，其实很简单就是找到子树的根B（分治点的直接儿子），减去子树的单独贡献就行。
这里需要把A-带上，增加在每一条路径前，所以就能减去非法答案了！
然后找到一个新的分治点分治。
对于这道题目： P4178 Tree
其实就是Get_Ans的问题：二分左端点不断逼近，右端点不断逼近就行了。
int Get_Ans(int u,int Len) { d[cnt=0]=0; Get_Dist(u,0,Len); sort(d+1,d+1+cnt); int l=1,r=cnt,an=0; while (l<=r) { if (d[l]+d[r]<=k) an=an+r-l,l++; else r--; } return an; }
整个代码的话长这样：（size在Get_Dist中一起做掉了）
# include <bits/stdc++.h> # define fp(i,s,t) for (int i=s;i<=t;i++) using namespace std; const int N=40005; int head[N],size[N],d[N],cnt,n,tot,ans,k; bool use[N]; struct rec{int pre,to,w;}a[N<<1]; template<typename T>void read(T &x) { x=0; int w=0; char c=0; while (c<'0'||c>'9') w|=c=='-',c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); x=w?-x:x; } template <typename T,typename... Args> inline void read(T& t, Args&... args) { read(t);read(args...); } void adde(int u,int v,int w) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; a[tot].w=w; head[u]=tot; } int Get_Root(int u,int fath,int S) { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=S/2) return Get_Root(pos,u,S); return u; } void Get_Dist(int u,int fath,int D) { d[++cnt]=D; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,D+a[i].w); size[u]+=size[v]; } } int Get_Ans(int u,int Len) { d[cnt=0]=0; Get_Dist(u,0,Len); sort(d+1,d+1+cnt); int l=1,r=cnt,an=0; while (l<=r) { if (d[l]+d[r]<=k) an=an+r-l,l++; else r--; } return an; } void solve(int u) { ans=ans+Get_Ans(u,0); use[u]=true; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; ans=ans-Get_Ans(v,a[i].w); int rt=Get_Root(v,u,size[v]); solve(rt); } } int main() { read(n); int u,v,w,t; fp(i,2,n) read(u,v,w),adde(u,v,w),adde(v,u,w); read(k); solve(1); cout<<ans<<' '; return 0; }
但是为什么我学了点分治呢？？？
事情是这样的，这天翻译到一道试题，发现是一个关于xor的性质的题目。
马上就想到异或前缀和+Tire树。然后发现我看错题目了。
COCI 2018/2019 Problem3 Deblo
这道题概括起来就是：
求树上路径点权异或和之和
事实上这道题如果放在边权上直接就出来了！
你就可以跑一边dfs，记录xor前缀和，然后问题就转化为：求一个数组d(就是xor前缀和数组)，第l项和第r项(r>=l)相减(d[r]-d[l])，求和
然后你弄个桶从左往右扫就完美O(n log2 n)了。。
但是但是这个东西是点权，如果你那样做会抠掉LCA！！！
这样做的复杂度是O(n2 log2 n)？加点常数还不如O(n3)裸暴力？！
一定有高妙的办法。
淀粉质 点分治是解决树上路径的利器
我们考虑到：树上路径的形成无外乎两种情况，在一棵以x为子树根的子树中，u到v的一条路径要么是跨过x，要么是不跨过x的。
进一步，如果u到v这条路径跨过x，那么 u和v要么同时在x的同一个子树里面，要么在同时在x不同的子树外！（看图）
我们想到可以在确定一个子树根的情况下，分别遍历他的每一个子树，分别统计答案然后把答案“拼接”起来，形成最终要求的答案。
当然只分出一个根还不够，每一次深入我们都需要找到一个根，然后来遍历他的各个子树。
我们现在的模型就抽象成上面那样，一条合法的路径无外乎两种情况：
1. 灰色里面的一条过root的路径和红色里面一条过root的路径"拼接"起来
2.整条路径被灰色和红色子树包含
但是...要分类？
我们考虑分而治之：再细分会发生什么？
我们发现刚才的担心是多于，那是因为我只要逐步细分一定都可以作为第一种情况考虑，所以在分治的过程中我们只考虑第一种情况，不必要分类讨论。
那么怎么选root呢？这个事情就和树链剖分为什么剖长链一样，只是为了递归层数低一些。
显然选X比选Y优，选X只要递归2层而选Y要递归4层！
一个结论：我们要选子树的重心！
我们对于重心的定义是这样的：这个点下面的子树元素个数占到整个子树元素个数的1/2还多一点点！
int Get_Root(int u,int fath,int S)//S是指以u为根的子树的size { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||used[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=S/2) return Get_Root(pos,u,S); return u; }
根据重心的定义，我们可以写出这样一个得到以u为根子树的重心的函数。（复杂度O(n)）
找到子树的根了那么就可以算出以当前根root为子树根下面节点的异或前缀和。并把这些异或前缀和按照二进制位的方法存到一个桶cnt中。
注意到cnt[0][i]表示第i个二进制位是0的前面有多少个数，cnt1[1][i]表示第i个二进制位是1有多少个数。
由于异或运算不能像上面一样相减，我们考虑在处理完一棵子树以后再把这棵子树的信息加入到桶里面。
再来看Get_Dist函数，就相当于把以u为根的子树（含u）所涵盖节点异或前缀和加入到桶里面。
void Get_Dist(int u,int fath,int num) { num^=val[u]; fp(i,0,23) cnt[(num & (1<<i))>0][i]++; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,num); size[u]+=size[v]; } }
而Get_Ans函数，就相当于把以u为根的子树（含u）所涵盖节点异或前缀和和原有路径的异或前缀和进行异或，得到横跨节点u的一整条路径。
当然每次求一条路径必须不能包含这条路径上的节点（所以要先Get_Ans再Get_Dist！）
void Get_Ans(int u,int fath,int num) { num^=val[u]; fp(i,0,23) ans+=(LL)(1<<i)*cnt[(num & (1<<i))==0][i]; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Ans(v,u,num); } }
至于根的问题由于横跨所有路径都会算上根，事先在solve中就已经把根加入桶了。
当然 ， 我们没有考虑根到根这一条路径所以必须把它补上。
这就是solve函数了！！！
void solve(int u) { use[u]=true; memset(cnt,0,sizeof(cnt)); fp(i,0,23) cnt[(val[u] & (1<<i))>0][i]++; ans+=(LL)val[u]; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; Get_Ans(v,0,0); Get_Dist(v,0,val[u]); } for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; int rt=Get_Root(v,u,size[v]); solve(rt); } }
这里有个复杂度的问题：我们在点分治过程中每次选取子树的重心为子树的树根进行处理， 这样总的递归深度不会超过logN层，
整个点分治的时间复杂度也就保证了O(NlogN)
代码的话这里放一下吧：
Code：
# include <bits/stdc++.h> # define fp(i,s,t) for (int i=s;i<=t;i++) # define LL long long using namespace std; const int N=100005; int head[N],size[N],d[N],n,tot,k; bool use[N]; struct rec{int pre,to;}a[N<<1]; int cnt[2][25],val[N]; LL ans; template<typename T>void read(T &x) { x=0; int w=0; char c=0; while (c<'0'||c>'9') w|=c=='-',c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); x=w?-x:x; } template <typename T,typename... Args> inline void read(T& t, Args&... args) { read(t);read(args...); } void adde(int u,int v) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; head[u]=tot; } int Get_Root(int u,int fath,int S) { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=S/2) return Get_Root(pos,u,S); return u; } void Get_Dist(int u,int fath,int num) { num^=val[u]; fp(i,0,23) cnt[(num & (1<<i))>0][i]++; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,num); size[u]+=size[v]; } } void Get_Ans(int u,int fath,int num) { num^=val[u]; fp(i,0,23) ans+=(LL)(1<<i)*cnt[(num & (1<<i))==0][i]; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Ans(v,u,num); } } void solve(int u) { use[u]=true; memset(cnt,0,sizeof(cnt)); fp(i,0,23) cnt[(val[u] & (1<<i))>0][i]++; ans+=(LL)val[u]; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; Get_Ans(v,0,0); Get_Dist(v,0,val[u]); } for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; int rt=Get_Root(v,u,size[v]); solve(rt); } } int main() { read(n); int u,v; fp(i,1,n) read(val[i]); fp(i,2,n) read(u,v),adde(u,v),adde(v,u); solve(1); cout<<ans<<' '; return 0; }
我推荐几个练习（雾）：
【luogu P2634】 [国家集训队]聪聪可可
# include <cstdio> # define LL long long using namespace std; const int N=5e4+10; struct rec{ int pre,to,w; }a[N<<1]; int n,tot,ans,SIZE,root; int head[N],d[N],size[N],f[N]; int r[3]; bool use[N]; int max(int x,int y){return (x>y)?x:y;} int min(int x,int y){return (x>y)?y:x;} inline int read() { int X=0,w=0; char c=0; while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar(); return w?-X:X; } void adde(int u,int v,int w) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; a[tot].w=w; head[u]=tot; } void Get_Root(int u,int fath) { f[u]=0,size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Root(v,u); f[u]=max(f[u],size[v]); size[u]+=size[v]; } f[u]=max(f[u],SIZE-size[u]); if (f[u]<f[root]) root=u; } int cnt; void Get_Dist(int u,int fath,int L) { r[L%3]++; d[++cnt]=L; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,L+a[i].w); size[u]+=size[v]; } } int Get_Ans(int u,int fath,int L) { cnt=0; int ret=0; r[0]=r[1]=r[2]=0; Get_Dist(u,fath,L); for (int i=1;i<=cnt;i++) if (d[i]%3==0) ret+=r[0]-1; else if (d[i]%3==1) ret+=r[2]; else if (d[i]%3==2) ret+=r[1]; return ret; } void solve(int u) { use[u]=true; ans+=(LL)Get_Ans(u,0,0); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (use[v]) continue; ans-=(LL)Get_Ans(v,u,a[i].w); SIZE=size[v],root=0; Get_Root(v,u); solve(root); } } LL gcd(LL a,LL b){return (b==0ll)?a:gcd(b,a%b);} int main() { f[0]=1e9; n=read(); int u,v,w; for (int i=1;i<n;i++) { u=read();v=read();w=read(); adde(u,v,w); adde(v,u,w); } SIZE=n; root=0; Get_Root(1,0); solve(root); ans+=(LL)n; LL g=gcd(ans,n*n); LL a=ans/g,b=(LL)n*n/g; printf("%lld/%lld",a,b); return 0; }
【luogu模板】点分治1 询问树上距离为k的点对是否存在
# pragma G++ optimize(3) # include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e4+10; struct rec{int pre,to,w;}a[N<<1]; int d[N],q[N],head[N],size[N],tot,n,m; bool use[N]; int bo[10000000]; void read(int& x) { x=0;char c=0; bool w=false; while (c<'0'||c>'9') w|=c=='-',c=getchar(); while ('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); if (w) x=-x; } void adde(int u,int v,int w) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; a[tot].w=w; head[u]=tot; } int Get_Root(int u,int fath,int S) { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=(S>>1)) return Get_Root(pos,u,S); return u; } int cnt; void Get_Dist(int u,int fath,int L) { d[++cnt]=L; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,L+a[i].w); size[u]+=size[v]; } } void Get_Ans(int u,int L,int opx) { cnt=0; Get_Dist(u,0,L); for (int i=1;i<=cnt;i++) for (int j=1;j<=cnt;j++) if (i!=j) bo[d[i]+d[j]]+=opx; } void solve(int u) { Get_Ans(u,0,1); use[u]=true; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (use[v]) continue; Get_Ans(v,a[i].w,-1); int rt=Get_Root(v,0,size[v]); solve(rt); } } int main() { read(n);read(m); int u,v,w; for (int i=1;i<n;i++) read(u),read(v),read(w), adde(u,v,w),adde(v,u,w); solve(1); int t; for (int i=1;i<=m;i++) { read(t); puts(bo[t]?"AYE":"NAY"); } return 0; }
【luogu P4178】 Tree 求小于k的点对个数
# include <bits/stdc++.h> # define fp(i,s,t) for (int i=s;i<=t;i++) using namespace std; const int N=40005; int head[N],size[N],d[N],cnt,n,tot,ans,k; bool use[N]; struct rec{int pre,to,w;}a[N<<1]; template<typename T>void read(T &x) { x=0; int w=0; char c=0; while (c<'0'||c>'9') w|=c=='-',c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); x=w?-x:x; } template <typename T,typename... Args> inline void read(T& t, Args&... args) { read(t);read(args...); } void adde(int u,int v,int w) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; a[tot].w=w; head[u]=tot; } int Get_Root(int u,int fath,int S) { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=S/2) return Get_Root(pos,u,S); return u; } void Get_Dist(int u,int fath,int D) { d[++cnt]=D; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,D+a[i].w); size[u]+=size[v]; } } int Get_Ans(int u,int Len) { d[cnt=0]=0; Get_Dist(u,0,Len); sort(d+1,d+1+cnt); int l=1,r=cnt,an=0; while (l<=r) { if (d[l]+d[r]<=k) an=an+r-l,l++; else r--; } return an; } void solve(int u) { ans=ans+Get_Ans(u,0); use[u]=true; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; ans=ans-Get_Ans(v,a[i].w); int rt=Get_Root(v,u,size[v]); solve(rt); } } int main() { read(n); int u,v,w,t; fp(i,2,n) read(u,v,w),adde(u,v,w),adde(v,u,w); read(k); solve(1); cout<<ans<<' '; return 0; }
【CF161D】 ：求距离为k的点对个数
# pragma G++ optimize(3) # include <bits/stdc++.h> # define LL long long using namespace std; const int N=5e4+10; struct rec{ int pre,to; }a[N<<1]; int n,k,tot; LL ans; int d[N],size[N],head[N]; bool use[N]; void read(int& x) { x=0;char c=0; bool w=false; while (c<'0'||c>'9') w|=c=='-',c=getchar(); while ('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); if (w) x=-x; } void adde(int u,int v) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; head[u]=tot; } int Get_Root(int u,int fath,int S) { int pos=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; if (size[v]>size[pos]) pos=v; } if (pos!=0&&size[pos]>=(S>>1)) return Get_Root(pos,u,S); return u; } int cnt; void Get_Dist(int u,int fath,int L) { d[++cnt]=L; size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,L+1); size[u]+=size[v]; } } void Get_Ans(int u,int L,int opx) { cnt=0; Get_Dist(u,0,L); sort(d+1,d+1+cnt); for (int i=1;i<=cnt;i++) { int *p1=lower_bound(d+1,d+1+cnt,k-d[i]); int t1=p1-d; int *p2=upper_bound(d+1,d+1+cnt,k-d[i]); int t2=p2-d-1; if (t2<t1) continue; if (t1==0||t2==0) continue; if ((d[t1]!=k-d[i])||(d[t2]!=k-d[i])) continue; ans+=(LL)(opx)*(t2-t1+1); if (i>=t1&&i<=t2) ans-=opx; } } void solve(int u) { use[u]=true; Get_Ans(u,0,1); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; Get_Ans(v,1,-1); int rt=Get_Root(v,0,size[v]); solve(rt); } } signed main() { read(n);read(k); int u,v; for (int i=1;i<n;i++) read(u),read(v), adde(u,v),adde(v,u); solve(1); cout<<(ans>>1)<<' '; return 0; }
[IOI2011]Race ：权值和为k，求最小边数
# include <cstdio> # define inf (0x3f3f3f3f) using namespace std; const int N=2e5+10; const int K=1e6+10; struct rec { int pre,to,w; }a[N<<1]; int n,k,tot,ans=inf,root,SIZE; int head[N],size[N],tmp[K],f[N]; bool use[N]; inline int min(int x,int y){ return x>y?y:x;} inline int max(int x,int y){ return x>y?x:y;} inline int read(int &X) { X=0; bool w=0; char c=0; while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar(); return w?-X:X; } void adde(int u,int v,int w) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; a[tot].w=w; head[u]=tot; } void Get_Root(int u,int fath) { f[u]=0,size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Root(v,u); f[u]=max(f[u],size[v]); size[u]+=size[v]; } f[u]=max(f[u],SIZE-size[u]); if (f[u]<f[root]) root=u; } void Get_Dist(int u,int fath,int num,int L) { if (L>k) return; tmp[L]=min(tmp[L],num); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Dist(v,u,num+1,L+a[i].w); } } void Get_Ans(int u,int fath,int num,int L) { if (L>k) return; ans=min(ans,tmp[k-L]+num); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; Get_Ans(v,u,num+1,L+a[i].w); } } void clear(int u,int fath,int L) { if (L>=k) return; tmp[L]=inf; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fath||use[v]) continue; clear(v,u,L+a[i].w); } } void solve(int u) { use[u]=true; tmp[0]=0; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; Get_Ans(v,u,1,a[i].w); Get_Dist(v,u,1,a[i].w); } clear(u,0,0); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (use[v]) continue; SIZE=size[v],root=0; Get_Root(v,u); solve(root); } } int main() { read(n);read(k); f[0]=inf; for (int i=1;i<n;i++) { int u,v,w; read(u);read(v);read(w); adde(u+1,v+1,w); adde(v+1,u+1,w); } for (int i=0;i<=k;i++) tmp[i]=inf; SIZE=n,root=0; Get_Root(1,0); solve(root); if (ans==inf) puts("-1"); else printf("%d ",ans); return 0; }