第八章- 假设检验

假设检验问题:

假设检验的概念:

对总体分布的论断就是假设检验
假设检验:检验假设成立与否的过程, 利用样本信息加以检验
假设检验问题:
- 显著性假设检验问题-唯一假设H₀
- H₀对H₁假设检验问题
思想: 构造统计量T(在H₀成立的情况下)→T的分布, 检验得到↔P{T←I}=α(小)
- P{(X1,...Xn)€W} = α (W:叫做H₀的拒绝域)
- P{(X1,...Xn)€W'} = 1-α (W':叫做H₀的接受域)
步骤:
- 提出原假设H₀, H₁
- 假定H₀成立, 取统计量T, 分布已知
- 对于给定的α, 找到P{(X1,...Xn)€W} = α
- 给出的样本数据, 由样本值(x1,...xn)求出统计量T的值.
  - (x1,..,xn)€W→拒绝H0
  - (x1,..,xn)€W'→接受H0

两类错误:

一个正太总体的参数假设检验

σ²=σ₀², 检验μ=μ₀, →U检验
X~N(μ, σ²), (X1,X2,...,Xn)取自X的样本, 检验率:α, σ²=σ₀²已知, 检验H₀: μ=μ₀
- 第一步: H₀: μ=μ₀, H₁: μ≠μ₀
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ₀, σ₀²)→取统计量U = (X'-μ₀)/(σ₀/n^½) ~ N(0,1)
- 第三部: 给定义, 由P{|U|>U_α/2}=α→U_α/2
  - 拒绝域: W = {(x1,...,xn)| |U|>U_α/2}
  - 接受域: W' = {(x1,...,xn)| |U|<U_α/2}
- 第四步:计算U的值|U|与U_α/2比较
σ2未知, 检验μ=μ₀, T检验法
- 第一步: H₀: μ=μ₀, H1: μ≠μ₀
- 第二步: 假定H₀成立, 取T = (X'-μ₀)/(S/n^½) ~ t(n-1)
  - 拒绝域: W = {(x1,...xn| |t|>t_α/2(n-1))}
- 第四步: 计算T的值将|t|与t_α/2(n-1)比较

σ²的假设检验:

当μ已知, σ2=σ02步骤:
- 第一步: H₀: σ²=σ₀², H₁:σ²≠σ₀²
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ₀,σ₀²), x1,...,xn是样本, 取统计量X² (卡方分布)= [Σ(X_i-μ₀)²]/σ₀² ~ X²(n) →卡方分布
- 第三步: 给定α, 由P{X²>X²_α/2(n)}=P{X²<X²_1-α/2(n)} = α/2
- 第四步: 计算X²的值, 比较

第一步: H0: σ²=σ₀², H₁:σ²≠σ₀²
第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ₀²), x1,...,xn是样本, 取统计量X² (卡方分布)= [Σ(X_i-X'(均值))²]/σ₀² ~ X²(n-1) →卡方分布
第三步: 给定α, 由P{X²>X²_α/2(n-1)}=P{X²<X²_1-α/2(n-1)} = α/2
第四步: 计算X²的值, 比较

两个正太总体的参数假设检验

总体方差σ₁², σ₂²的差异性检验

μ1, μ2都未知, 检验H0: σ₁²=σ₂²
第一步: 提出H0: σ₁²=σ₂², H1: σ₁²≠σ₂²
第二步: 假定H0成立, 取F = S₁²/S₂² ~ F(n₁-1, n₂-1)
第三步: 给定义由P{F>F_α/2} = P{F<F_1-α/2} = α/2, W = {(x1,...,xn)|f>f_α/2(n₁-1,n₂-1)}或f<f_1-α/2(n₁-1, n₂-1)
第四步: 计算F的值与f_α/2比较