第二章-随机变量分布

随机变量的概念: 对于Ω, X=X(ω), 实值函数

• 离散型: 有限个事件, 无限可排列个
• 非离散型:连续型 
• X的所有取值x_k(k=1,2,3...)如果实无限个, 那就是可列个, P(X=x_k)=p_k, 概率函数(分布)
• 当事件和概率以表格的形式呈现出来, 就叫做概率分布表
• 事件和事件对应的概率以图的形式呈现出来, 叫做概率分布图

连续型随机变量及其概率密度函数

• 频数: 出现的次数
• 定义: X的取值实某个区间的实数, 若存在非负可积函数f(x), f使得(x)≥0, 都有a≤b,  P{a<x≤b}=∫_a^bf(x)dx  x:连续, f(x)叫做概率分布密度函数
  • f(x)≥0)
  • ∫_-∞^+∞f(x)=1
  • 连续性随机变量取个别值的概率为0
• 连续性, 端点无所谓
  • P{a≤x≤b}=P{a≤x<b}=P{a<x≤b}=P{a<x<b}
  • P{x<a}=P{x≤a}
  • P{x>a}=P{x≥a}
  • 概率为0的事件未必实不可能事件
  • 概率为1的事件也未必是必然事件

分布函数:对离散型,连续性都成立

• 分布函数F(x)=P(X≤x), 分布函数就是随机变量的取值不超过x的概率, 事一个普通的实函数
• 性质1: 0≤F(x)≤1, x€(-∞, +∞)
• 分布函数F(x),是不减函数, x1<x2, F(x1)<F(x2)
  • lim_x→+∞F(x)=F(+∞)=1
  • lim_x→-∞F(x)=F(-∞)=0
• F(x)右连续
  • 离散性: 右连续
  • 连续性: 左右都连续
• 公式: F(x)=P(X≤x)   (对离散性, 连续性, 都成立)
  • P{X≤a}=F(a)
  • P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a)
  • P{a<X<b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)
  • P{X=a}=F(a)-F(a-0)
  • P{a≤X≤b}=F(b)-F(a-0)
  • P{X<a}=F(a-0)
  • P{X≥a}=1-F(a-0)

分布函数→概率

• 间断点局势x的取值
• P{X=x_p}=F(X_k)-F(x_k-0)
• F(x) = P{X=x}=∫_-∞^xf(t)dt

常见随机变量的分布:

• 0-1分布

• X	1	0
  P	p	1-p

• P{X=k}=P^k(1-p)^1-k  k=0,1...
• 特点: 有两种结果: 试验只做一次
• 最可能值:
  • (n+1)p不为整数, [(n+1)p]达到最大值
  • (n+1)p是整数, (n+1)p, (n+1)p-1是最值
• 几何分布:
  • P(A)=p, 第k次首次发生, 前k-1次未发生, P{X=k}=(1-p)^k-1p    X~G(p)
• 二项分布:
  • P(A)=p, n次试验, 发生了k次, 所以公式:
    • P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^n-k
    • 知道k求概率
• 泊松分布:
  • P{X=k}=(λ^k)/(k!)e^-λ  k = 0,1,2,3,...   λ>0, X~P(λ)
  • 知道概率, 求k
• 超几何分布:
  • N个元素: N1个属于第一类, N2个属于第二类, 取n个, X:n个属于第一类的个数
    • P{X=k}=C_N1^kC_N2^n-k/C_Nⁿ   k=0,1,2,3,...
    • 超几何分布可以描述不放回的抽样实验, 当N很大时, n相对与N影响很小,
      • P = {X=k}=C_M^kC_N-M^n-k/C_Nⁿ ≈ C_n^kp^k(1-p)^n-k 
• 二项分布: n≥100, np≤10, 用泊松分布近似计算λ=np
• 超级几何分布: (N大, n/N小)→二项分布→泊松分布(近似)

连续型分布:

• 均匀分布: 在区间内均匀分布
  • f(x) = 1/(b-a)  a≤x≤b
• 指数分布: 
  • f(x) = λe^-λx   x>0  or   0  x≤0,   (λ>0, X~Exp(λ))

正态分布:

• Φ(x)=1/[(2π)^1/2σ]e-(x-μ)²/(2σ²)     -∞<x<+∞   X~N(μ, σ²)
• ∫_-∞^+∞e^-x2dx=π^1/2  
• 性质1: y=φ(x)是以x=μ未对称轴, 钟形图形
  
  • x=μ时, φ(x)最大值为1/[(2π)^1/2σ]
• 性质2: y = φ(x)以x轴未渐近线, x=μ+σ是拐点
• 性质3: σ固定: μ变化, 左右移动
  • μ固定: σ变化, 
    
    • σ变小, 最高点上移, 图形边陡
    • σ变大, 最高点下移, 图像变缓

标准正态分布:

• 当μ=0, σ=1, Φ₀(x)=1/[(2π)^1/2]e-(x²/2)   -∞<x<+∞
• 性质1: y轴是对称轴, 偶函数  Φ₀(x) = Φ₀(-x)   Φ₀(-x)=1-Φ₀(x)
• 一般正态分布→标准正态分布
  • Φ(x)=Φ₀[(x-μ)/σ]
  • eg: X~N(1,4)服从一般正态分布, 求P{0<X<1.6}的概率
    • 因为X~N(1,4)服从一般正太分布, 所以 μ=1, σ=2
    • P{0<X<1.6}=Φ(1.6)-Φ(0)=Φ₀[(1.6-1)/2] - Φ₀[(0-1)/2] = Φ₀(0.3)-Φ₀(-0.5)=Φ₀(0.3)-(1-Φ₀(0.5))
• 上分位数:
  • X~N(0,1)服从一般正态分布, 给定α(0<α<1), 找出μ_α, P{X>μ_α}, 此时μ_α叫做上分位数

随机变量函数的分布:

• 离散型: 已知X是某分布, 则新构造的函数的概率和原概率不变, 如果新构造的函数重复,就需要把重复的变量合起来.
• 连续型: 连续函数, 分布公式: F(x)=P{X≤x}
  • F_x(x) = P{X≤x}
  • F_Y(x) = P{Y≤x}
    • 用F_Y(x)→F_X(x):用x来表示y的分布函数
    • 两边同时求导: 来能改变同事求导的密度函数 
      • F_Y(x)→求导→f_Y(x)
      • F_X(x)→求导→fx(x)
• 定理2.1: X的密度函数fx(x), 引入 Y=Kx+b, f_Y(x)=1/|k|fx[(x-b)/k]