向量:
- n个数a1,...an组成的有序数组叫做向量
向量的线性关系
- 线性组合: β, α1, α2, ...αn是m维向量
- 若存在k1, k2...kn使: β=k1α1 + k2α2 + ... + knαn,则β是α向量组的线性组合(线性表示), k为线性系数
- 零向量可由任意向量组表示, 线性系数为0即可
- 向量组中任以向量可由向量组表示
- 任意向量可由ξ1 = (1,0,0...0), ξ2 = (0,1,0...0), ...ξn = (0,0,0,...1)表示 (方程组有解,才可以表示)
- 向量组的等价
- α1, α2, ...αm, β1...βn同维
- 相互表示: {α1...αn}≡{β1...β2}
- 反射性: {α1...αn}≡{α1...αn}
- 对称性:
线性相关与线性无关
- α1,...αn是n(个数)个m(维度)维向量, 若存在一组不全为0的k1,...kn, 使得k1α1 + k2α2 + ... + knαn = 0, 则说明α1...αn是线性相关的
- 线性无关:
- 不是相关
- 找不到一组不全为0的k1, k2,...kn使相关成立
- 相关成立, k1,...kn必全为0
- 向量组中两向量成比例, 向量组线性相关
- 含有0向量的向量组必线性相关
- 只有含有一个0向量的向量组必线性相关
- 一个非零向量必无关
- 一个向量α线性相关的充要条件: α=0
- α1...αr相关, α1...αr.αr+1...αs相关(部分向量组线性相关, 整体向量组线性相关) (整体组无关,部分组无关)
- 线性无关向量组的接长向量组也无关'
- 线性相关的向量组, 截短向量组也相关
- n个n维向量(向量的个数=向量的维数)组成的行列式D≠0, 则这线性无关, D=0, 线性相关
- 将线性向量组是相关还是无关, 转化成线性方程组的解
- 相关↔非零解
- 无关↔只有零解
- 定理1: α1...αs线性相关↔至少一个向量可由其余向量表示
- 定理2: α1...αs线性无关, α1...αs, β线性无关, β可由α1...αs唯一表示
- 定理3: α1...αs无关, 可由β1...βt表示, 则s≤t
- 定理4: m>n, m个n维向量线性相关(n+1个n维向量线性相关)
- 推论: 两个等价的线性无关组含向量的个数是相同的
向量组的秩
- 极大线性无关组: α1,α2,...αs的部分组α1,α2则称为极大线性无关组
- α1, α2无关
- 每个向量均可由α1, α2表示
- 向量组的秩: 极大无关组含向量的个数r(α1,α2,...αs)
- 0 ≤ r(α1...αs)≤min{向量组个数, 维数}
- α1...αs无关 ↔ r=s
- α1...αs相关 ↔ r<s
- 定理: α1...αs可由β1...βt表示, r(α1...αs)≤r(β1..βt)
行秩与列秩
- 定理: 矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩r(A)
- 初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
- 求极大线性相关:
- 不管原向量是行或列, 均按列构成矩阵
- 只对行进行化简行
- 首非零元素所在列, 左极大无关组
- 其余向量表示直接写出来