第一章-行列式

二阶行列式:2行,2列,4个元素, a_ij:表示第几行,第几列. 主对角线: \,  次对角线: /.

排列:由1,2,...,n组成的一个有序数组,叫做n级排列(中间不能缺数)

• n级排列: n(n-1)(n-2)......3X2X1=n!
• 逆序: 大的数排在了小数的前面构成了逆序
• 逆序数: 逆序的总数, eg: 4213: 3+1=4(4后边的逆序数:2,1,3. 2后边的逆序数:1,总共4个数)记作: N(4213) = 3+!=4
• 类似的,像: N(1,2,3,...,n)=0的这样的排列叫做标准排列(自然排列)
  
• N(n,n-1,...,3,2,1) = n-1 + n-2+...+ 2+1 = n(n-1)/2
• 对换:交换两个数
• 定理1: 一个兑换,排列奇偶性改变,当做奇数对换, 排列奇偶性改变, 偶数次对换, 排列奇偶性不变
• 定理: N级排列中, 奇排列,偶排列各占n!/2 

n阶行列式

• 定义:
  • (按行)行标取排列, 列标取排列的所有可能, 共有n!项,从不同行不同列取n个元素相乘, 符号由列标排列的奇偶性决定的.
  • (按列)列取标准列, 行标取排列的所有可能, 共有n!项, 从不同的列不同行取n个元素相乘, 符号由行标排列的奇偶性决定的
  • (即不按行也不按列), Σ(-1)N(i₁i₂...i_n) + (j₁j₂...j_n)ai₁j₁ai₂j₂...ai_nj_n
• n阶行列式的表达式: Σ^{(-1)N(j1,j2,...,jn)}_j1,j2...jna₁j₁a₂j₂...a_nj_n
• 下三角行列式(左下角) = 主对角线相乘
• 上三角行列式(右上角) = 主对角线相乘
• 对角形行列式 = 主对角线相乘
• 下三角行列式(右下角) = (-1) ^{N(n(n-1),...3,2,1)}a_1n a_2(n-1),...,a_n1
• 上三角行列式(左上角) = (-1)^{N([n(n-1)]/2)}a_1n a_2(n-1),...,a_n1

转置: 

• 将原来的行列转换位置叫做转置, 记作:D^T
• 性质1: D^T = D对行成立的性质, 对列也成立
• 性质2: 两行(列)互换, 值变号
• 推论: 两行(列)相等, 行列式的值等于0即:D=0
• 性质4: 某一行都乘以K, 等于K乘以行列式的值D
• 推论: 某一行都有公因子K, k提外面, 行列式所有元素均有公因子K, k外提n次
• 性质5: 两行对应成比例, D = 0
• 推论: 某一行全为0, 则行列式的值为0,即D=0
• 性质6: 如果行列式的某一行使2个数相加,其余不变,则这个行列式=把相加的行拆开, 原行不变的2个行列式相加
• 性质7: 某一行乘以一个数, 加到另一行上去, 行列式的值不变
• 化简称上三角的的步骤:
  • 先处理第一列, 再处理第二列, 再处理第三列
  • 第一列处理完, 第一列不再参与运算

按行展开

• 余子式: 去掉某个元素所在的行和去掉这个元素所在的列, 剩下的行列式叫做余子式(去掉元素所在的行和列剩余的行列式, 其中剩余的行列式也是原来行列式的子集)记作: M_ij(i:表示第i行, j表示第j列)
• 代数余子式: 再余子式的前边乘以-1, 记作A_ij=(-1)^i+j |行列式|
• 定理(按某行(列展开)):对于给定的一个行列式= 任意一个元素与其对应的代数余子式的乘积之和
  • D = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ...+ a_inA_in (按行展开)
  • D = a_1jA_1j + a_2jA_2j + ... + a_njA_nj (按列展开)
  • 选择0多的行(列)展开方便计算
• 定理(异乘变零):某行元素雨另一行元素的代数余子式乘积之和=0
• 拉普拉斯定理:k阶子式, 取n行n列,交叉位置上的元素构成k阶子式
  • 余子式: 去掉k阶行, k阶列,剩下的行列式就叫做k阶子式的余子式
  • 代数余子式: 去掉k行k列,剩下的行列式乘以(-1)^k行+k列
  • 取定k行,由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D　
• 行列式相乘: 同阶行列式　

行列式的计算

• 三叉型行列式: 行列式中只有第一行, 第一列, 和主对角线有值,其余全是0的行列式(注意: 不能改变原行列式的值)
  • 加边法: 不能改变原行列式的值
  • 三叉型行列式: 一般都是用对角线取消除第一列
  • 有字母:放分母,注意不等于0的条件
• 范德蒙德行列式,形如
• 反对称行列式: a_ij = a_ji, a_ii = -a_ii
  
  • 对角线全为0
  • 上下位置对应成相反数
  • 技术界, D =0
• 对称行列式: a_ij = a_ji, a_ii = a_ii
  • 主对角线元素无要求
  • 上下对应相等

克莱姆法则:(适用于:方程的个数=未知个数)

• 取方程的系数构成的行列式叫做:系数行列式
• 含有n个方程, n个未知数
• D ≠ 0 (此时的D就是系数行列式)
• X_j = D_j/D, 其中, D = 系数行列式, D_j为将方程右边的常数替换系数行列式的相应的j列
• 当方程右边的全为0的时候, 此时为齐次方程组, 齐次方程组至少有0解.
• 定理: 齐次, 方程个数=未知数的个数, D≠0, 只有零解
• 定理: 齐次方程(方程的个数=未知数个数)有非零解↔D=0