第一章-极限与函数

1. 函数的概念
   1. 函数: 设变量x的取值范围为D, 若对任意的x € D, 按照某种对应关系总有唯一确定的的值y与x对应,称y为x的函数, 记为y=f(x), 其中D称为函数y=f(x)的定义域.
      1. 定义域: 使表达式及实际问题都有意义的自变量集合
      2. 对应规律的表示方法: 解析法, 图像法, 列表法
   2. 复合函数: 设u = φ(x)(x€D₁), y=f(u)(u€D₂), 且对任意的x € D₁,有φ(x) € D₂, 称y为x的复合函数, 记为y=f[φ(x)].
   3. 设y=f(x)(x € D)为单调函数, 其值域为R, 对任意的y € R, 有唯一确定的x € D与之对应, 称x为y的反函数, 记为x=f^-1(y)
      1. 性质: 
         1. y = f(x)单调递增(减), 其反函数y = f^-1(x)存在且也单调递增(减)
         2. 函数y=f(x)与其反函数y=f^-1(x)的图形关于直线y=x对称
2. 基本初等函数
   1. x^a
   2. a^x (a>0, a≠1)
   3. log_a^x (a>0, a≠1)
   4. sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx
   5. arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx
3. 初等函数
   1. 由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而称的式子构成的函数称为初等函数
4. 函数的初等特性
   1. 有界性: 设y=f(x)(x€D),若存在M>0, 对任意的x€D, 总有| f(x) | ≤ M, 称函数f(x)再D上有界
      1. 若存在常数M₁, 对任意的x€D, 有f(x)≥M₁, 称f(x)在D上有下界;若存在常数M₂, 对任意的x € D, 有f(x)≤M₂, 称f(x)在D上有上界
      2. 若| f(x) | ≤ 2, 则f(x)≥-2且f(x)≤2, 即若f(x)有界, 则f(x)既有下界又有上界, 反之, 若f(x)≥2, 则f(x)≥-2. 且f(x)≤4, 则 | f(x) | ≤4, 既有下界又有上界, 则有f(x)有界, 故f(x)有界的充分比u药条件时f(x)既有下界又有上界
5. 单调性
   1. 设y=f(x)(x€D), 若对任意的的X₁, x₂€D且, x₁ < x₂, 总有f(x₁)< f(x₂), 称y=f(x)在D上单调增加; 若对任意的x₁, x₂€ D且x₁ < x₂, 总有f(x₁) > f(x₂), 称y = f(x)在D上单调递减
6. 周期性
   1. 设y=f(x)(x€D), 若存在T>0, 对任意的x€D, x+T € D, 有f(x+T)=f(x), 称y=f(x)为周期函数, T称为y=f(x)的周期
7. 特殊函数
   1. 符号函数
      1. 称sgnx = {-1, (x < 0),  0, (x = 0), 1, (x >0)}为符号函数, 显示| x | = xsgnx
   2. 狄利克雷函数
      1. 称D(x) = {(1, x € Q), (0, x € RQ)}为狄利克雷函数
   3. 取整函数
      1. 称 y= [x]为取整函数, 其函数值为x左侧做大的整数, 若x为整数, 则函数值即为x.
8. 极限的定义
   1. 数列的定义: 函数f(x)定义域为全体正整数的集合N⁺, 为数列, , 因为正整数集N⁺可以按从小到大的顺序排列, 故数列f(n)也可写作: a¹, a², a³,...aⁿ...
   2. 数列极限的定义: 若对于任意的ξ > 0, 存在N>0时, 有n > N时, 有| a_n -A | < ξ, 称A为数列{a_n}的极限, 记为lima_n = A(n->∞)
   3. 函数自变量趋于有限值的极限定义(ε - δ): 若对于任意的的ε  > 0, 存在δ>0, 当0<| x-a | < δ时, 有| f(x) -A | < ε, 称A为f(x)当x -> a时的极限, 记为limf(x) = A(x -> a)
   4. 函数自变量趋于无穷大的极限定义(ε - X): 
      1. 若对任意的ε > 0, 当x > X时, 有| f(x) - A | < ε, 称A为f(x)当x -> +∞的极限, 记为limf(x) = A(x -> a)
      2. 若对于任意的ε > 0, 存在X > 0, 当x < -X时, 有| f(x) -A | < ε, 称A为f(x)当x -> -∞的极限, 记为limf(x) = A(x -> -∞)
      3. 若对于任意的ε > 0, 存在X >0, 当| x | > X, 有| f(x) -A |< ε, 称A为f(x)当x-> ∞的极限, 记为limf(x) = A (x-> ∞)
9. 集合
   1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合, 组成集合的事物称为元素, 不含任何元素的集合称为空集
   2. 注: M^*表示集合M中排除0耳朵集, M⁺表示集合M中排除0与负数的集
10. 收敛数列的性质
    1. 收敛数列的极限唯一.
    2. 收敛数列的极限一定有界
    3. 收敛数列的保号性
    4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限
11. 夹逼准则
    1. 见书
12. 无穷小
    1. 定义: 若 x -> x₀时, 函数f(x) -> 0, 则称函数f(x)为x -> x₀时的无穷小
    2. 说明: 除0以外, 任何很小的常数都不是无穷小.
    3. 定理: 无穷小余函数极限的关系,当函数的在某个值时极限趋于A, 则就可以得出f(x) = A + α, 其中α为 x -> x₀时的无穷小量
13. 无穷大
    1. 定义: 若任给M > 0, 总存在δ >0(正数X), 使对一切满足不等式 0<| x - x₀ | < δ(| x | > X)的x总有 | f(x) | > M, 则称函数f(x)当x -> x₀(x -> ∞)时为无穷大, 记作f(x)的极限 = ∞(当x - > x₀)
    2. 注意: 
       1. 无穷大不是很大的数, 他是描述函数的一种状态
       2. 函数为无穷大, 必定无界, 但反之不真!
14. 无穷小的运算法则
    1. 定理1: 有限个无穷小的和还是无穷小
       1. 拓展: 有限个无穷小之和仍为无穷小
       2. 说明: 无限个无穷小之和不一定时无穷小
    2. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
       1. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小
       2. 推论2: 有限个无穷小的乘积是无穷小
    3. 定理3: 函数极限的和等和的极限
    4. 定理4: 函数积的极限等于函数极限的积
       1. 说明: 定理4可推广到有限个函数相乘的情形
       2. 推论1: 常数*函数的极限=函数的极限*常数
       3. 推论2: 函数极限的n次幂=函数极限的n次幂
    5. 定理5: 函数上的极限=函数极限的商(分母≠0)
15. 函数极限与数列极限关系的应用
    1. 利用数列极限判断函数极限不存在
       1. 法一: 找一个数列{x_n}: x_n≠ x₀, 且xn -> x₀ (n -> ∞), 使lim(x->∞)f(x_n)不存在
       2. 法二: 找两个趋于x₀的不同数列{x_n}及{x_n’},使lim{n - > ∞}f(x_n)≠lim(n-> ∞)f(x_n’)
    2. 数列极限存在的夹逼准则===> 函数极限存在的夹逼准则
16. 两个重要的极限
    1. lim(x-> 0)sinx / x = 1
    2. lim (x -> ∞)(1+ 1/x)^x = e   lim(x - > 0)(1+x)^1/x=e
17. 定义. 设α, β使自变量同一变化过程中的无穷小, 若limβ/α,则称β是α高阶无穷小,
    1. 若limβ/α=0, 则称β是比α高阶无穷小记作β=o(α), β趋于无穷小的速度高于α
    2. 若limβ/α=∞, 则称β是比α低阶的无穷小   β趋于无穷小的速度小于α
    3. 若limβ/α = C≠0, 则称β是α的同阶无穷小
    4. 若limβ/α =1, 则称β是α的等价无穷小
18. 定理
    1. 定理1: α ~ β  ↔ β = α + o(α)
    2. 定理2: 设α ~ α', β ~ β', 且limβ'/β存在, 则 limβ/α = limβ'/α'
    3. 说明: 设对同一变化过程中, α, β为无穷小, 由等价无穷小的性质,可简化得某些极限运算的下述规则
       1. 和差取最大规则: 若β = o(α), 则α±β ~ α
       2. 和差代替规则: 若a ~ a', β ~ β'且β与α不等价, 则α - β ~ α' - β',且limα - β/γ = limα' - β'/γ, 但α ~ β时此结论未必成立
       3. 因式代替规则: 若α ~ β, 且φ(x)极限存在或有界, 则 limαφ(x) = limβφ(x)
19. 无穷小的比较, 设α, β对同一自变量的变化过程为无穷小, 且α≠0, (无穷大量不具备无穷小量的运算性质)
    1. limβ/α = 0, β是α的高阶无穷小
    2. limβ/α = ∞, β是α的低阶无穷小
    3. limβ/α = C,  β是α同阶无穷小
    4. limβ/α = 1, β是α的等价无穷小
    5. limβ/α^k = C ≠, β是α的K阶无穷小
20. 常用等价无穷小: 当x -> 0
    1. sinx ~ x,
    2. tanx~ x,
    3. (1+x)1/n -1 ~ 1/nx 
    4. e^x - 1 ~ x 
    5. ln(1+x) ~ x
    6. arcsinx ~ x
    7. arctanx ~ x
    8. e^x -1 ~ x
    9. ln(1+x) ~ x
    10. 1 - cosx ~ 1/2x²
    11. lim(φ(x) -> ∞)(1+1/φ(x))^φ(x) = e
21. 极限的重要公式
    1. lim(n->∞)(1+1/n)ⁿ = eⁿ
    2. lim(x->0)sinx/x = 1
    3. lim(x -> ∞)(1+1/x) = e
    4. lim(z->0)(1+ z)^1/z = e
22. 连续性
    1. 定义1:设函数y=f(x)在x₀的某邻域内有定义, 如果lim(x->x₀)f(x)存在, 且lim(x->x₀)f(x) = f(x₀), 则称函数f(x)在x₀处连续, 可见, 函数f(x)在点x0连续, 必须具备下列条件:
       1. f(x)在点x₀处有定义, 即f(x₀)存在
       2. 极限lim(x->x₀)f(x)存在
       3. lim(x->x₀)f(x) = f(x₀)
       4. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
    2. 若f(x)在某区间上每一点都连续, 则称他在该区间上连续, 或称它在该区间上的连续函数, 在闭区间[a, b]上的连续函数的集合记作C[a, b], 对自变量的增量Δx = x - x₀, 有函数的增量 Δy = f(x) - f(x₀)
23. 函数的间断点
    
    1. 设f(x)在点x₀的某去心邻域内有定义, 则下列情形之一函数f(x)在点x₀不连续
       1. 函数f(x)在x₀无定义;
       2. 函数f(x)在x₀虽有定义 但limx->x₀f(x)不存在
       3. 函数f(x)在x₀虽有定义, 且lim(x->x₀)f(x)不存在
       4. 函数f(x)在x₀虽有定义, 且lim(x->x₀)f(x)存在, 但lim(x->x₀) f(x) ≠ f(x₀), 这样的点x₀, 成为间断点
    2. 间断点分类:
       1. 第一类间断点:
          1. f(x₀^-)及f(x₀⁺)均存在
             1. 若f(x₀^-)=f(x₀⁺),称x₀位可去间断点
             2. 若f(x₀^-)=f(x₀⁺), 称x₀为跳跃间断点
       2. 第二类间断点:
          1. f(x₀^-)及f(x₀⁺)中至少一个不存在
             1. 若其中一个为∞, 称x₀位无穷间断点
             2. 若其中一个为振荡,称x₀为振荡间断点
24. 连续函数的运算法则
    1. 定理1: 在某点连续的有限个函数经有限次和, 差, 积, 商(分母不为0)运算, 结果仍是一个在该点连续的函数
    2. 定理2: 连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调递增(递减)
    3. 定理3: 连续函数的复合函数是连续的
25. 初等函数的连续性
    1. 基本初等函数在定义区间内连续
    2. 连续函数经四则运算仍连续
    3. 连续函数的复合函数连续
26. 补充公式
    1. nlog_aN = log_aNⁿ